Substitusikannilai y tersebut ke dalam persamaan garis yang lain. 2x - 3y = 7. 2x - 3(5 - 3x) = 7 dan titik B(4,7), maka persamaan garis g adalah sebagai berikut. 25. Diketahui garis g memotong sumbu x di A(4,0) dan sumbu y di B(0,3). Untuk menyelesaikan soal tersebut siswa diminta menggambar grafiknya seperti pada Gambar : Baca
P adalah proyeksi titik P pada garis g jika dan hanya jika P' terletak pada garis g dan Μ
Μ
Μ
Μ
Μ
' tegak lurus dengan garis g. β¬ Gambar 1.2 Koordinat Titik P Perhatikan Gambar 1.2 di atas. Misalkan P adalah sebuah titik sebarang pada bidang datar maka P 1 adalah proyeksi titik P pada sumbu- T dan P 2 adalah
Tanggaseperti tampak pada kedua gambar di atas merupakan contoh penerapan garis lurus dalam kehidupan sehari-hari. Agar tangga aman, nyaman, dan tidak berbahaya jika dinaiki maka harus Kemiringan garis dengan persamaan 3 Tβ Uβ4=0 adalah a. β4 b. β3 c. 3 d. 4 4.
Tanggauntuk tempat tidur tingkat seperti tampak pada gambar di samping merupakan salah satu contoh penerapan garis lurus dalam kehidupan sehari-hari. Agar tangga aman, nyaman, dan tidak berbahaya jika dinaiki, maka harus ditentukan dengan tepat kemiringan tangga tersebut. Gambar Tempat tidur dengan tangga
. Postingan ini membahas contoh soal persamaan garis lurus dan pembahasannya atau penyelesaiannya + jawaban. Penerapan persamaan garis lurus dalam kehidupan sehari-hari sangat banyak, salah satunya adalah tangga. Tangga yang sering kalian temui di kehidupan sehari-hari biasanya berbentuk garis lurus dan selalu diletakkan dengan posisi miring terhadap lantai. Secara umum persamaan garis lurus mempunyai bentuk y = mx + c, dengan m menyatakan gradien. Sedangkan rumus persamaan garis lurus sebagai persamaan garis lurusPersamaan pertama adalah persamaan garis lurus dengan gradien dan melewati titik x1, y1. Sedangkan persamaan kedua adalah persamaan garis lurus yang melalui dua titik yaitu A x1, y1 dan titik B x2, y2.Contoh soal 1 UN 2016 SMPPersamaan garis yang melalui titik R-3, -2 dengan gradien 2 adalahβ¦A. 2x + y β 4 = 0 B. 2x β y + 4 = 0C. 2x + y + 4 = 0 D. 2x β y β 4 = 0Pembahasan / penyelesaian soalPada soal ini diketahuix1 = β 3y1 = β 2m = 2Cara menjawab soal ini sebagai berikuty β y1 = m x β x1y β -2 = 2 x β -3y + 2 = 2 x + 3y + 2 = 2x + 62x β y + 6 β 2 = 02x β y + 4 = 0Soal ini jawabannya soal 2 UN 2016Persamaan garis yang melalui titik P-1, 2 dengan gradien 1/2 adalahβ¦A. x + 2y β 5 = 0 B. x β 2y β 5 = 0 C. x β 2y + 5 = 0 D. x + 2y + 5 = 0Pembahasan / penyelesaian soalPada soal ini diketahuix1 = β 1y1 = 2m = 1/2Cara menentukan persamaan garis lurus sebagai berikuty β y1 = m x β x1y β 2 = 1/2 x β -1y β 2 = 1/2 x + 1y β 2 = 1/2x + 1/21/2x β y + 1/2 + 21/2x β y + 5/2 = 0 dikali 2x β 2y + 5 = 0Soal ini jawabannya soal 3 UN 2017 SMPPersamaan garis melalui titik -2, 3 dan bergradien -3 adalah β¦A. x + 3y + 3 = 0 B. x β 3y + 3 = 0 C. 3x + y + 3 = 0 D. 3x β y + 3 = 0Pembahasan / penyelesaian soalPada soal ini diketahuix1 = -2y1 = 3m = -3Cara menjawab soal ini sebagai berikuty β y1 = m x β x1y β 3 = -3 x β -2y β 3 = -3 x + 2y β 3 = -3x β 63x + y β 3 + 6 = 03x + y + 3 = 0Soal ini jawabannya soal 4Persamaan garis yang melalui titik 2, 5 dan 3, 9 adalahβ¦A. y = 4x β 3 B. y = 4x β 5 C. y = 4x β 8 D. y = 4x β 13Pembahasan / penyelesaian soalPada soal ini diketahuix1 = 2y1 = 5x2 = 3y2 = 9Cara menjawab soal ini sebagai berikutβ y β y1y2 β y1 = x β x1x2 β x1 β y β 59 β 5 = x β 23 β 2 β y β 54 = x β 21 β y β 5 = 4 x β 2 β y β 5 = 4x β 8 β y = 4x β 8 + 5 = 4x β 3Soal ini jawabannya soal 5Persamaan garis lurus yang melalui titik 0, 3 dan 4, 0 adalahβ¦A. y = -4/3 x + 3 B. y = β 3/4 x + 3 C. y = 3/4 x + 3 D. y = 4/3 x + 3Pembahasan / penyelesaian soalDiketahui x1 = 0y1 = 3x2 = 4y2 = 0Cara menjawab soal ini sebagai berikut.β y β y1y2 β y1 = x β x1x2 β x1 β y β 33 β 0 = x β 00 β 4 β y β 33 = x-4 β -4 y β 3 = 3x β -4y + 12 = 3x β 4y = -3x + 12 β y = β 3/4 x + 3Soal ini jawabannya soal 6Persamaan garis gambar dibawah ini adalahβ¦Contoh soal persamaan garis lurus nomor 6A. y = x β 3B. y = 3 β x C. y = x + 3 D. y = 3xPembahasan / penyelesaian soalGaris lurus pada gambar diatas melalui dua titik yaitu 3, 0 dan 0, 3. Jadi pada soal ini diketahuix1 = 3y1 = 0x2 = 0y2 = 3Cara menentukan persamaan garis gambar diatas sebagai berikutβ y β y1y2 β y1 = x β x1x2 β x1 β y β 03 β 0 = x β 30 β 3 β y3 = x β 3-3 β -3y = 3 x β 3 β -3y = 3x β 9 dibagi 3 β -y = x β 3 β y = -x + 3 atau 3 β xSoal ini jawabannya soal 7Persamaan garis lurus yang melalui titik 2, -6 dan sejajar garis y = 3x + 4 adalahβ¦A. y = 3x β 6 B. y = 3x β 12 C. y = 3x + 6 D. y = 6x + 3Pembahasan / penyelesaian soalPada soal ini diketahuix1 = 2y1 = -6m = 3 diperoleh dari y = mx + c atau y = 3x + 4Jadi persamaan garis yang melalui titik 2, -6 sebagai berikuty β y1 = m x β x1y β -6 = 3 x β 2y + 6 = 3x β 6y = 3x β 6 β 6 = 3x β 12Soal ini jawabannya soal 8Persamaan garis yang melalui 2, 8 dan sejajar garis 2y = 4x β 2 adalahβ¦A. y = 1/2 x + 4 B. y = β 1/2 x β 1 C. y + 2x = 4D. y β 2x = 4Pembahasan / penyelesaian soal2y = 4x β 2 diubah menjadi y = 2x β 1. Jadi m = 2. Maka persamaan garis yang sejajar 2y = 4x β 2 sebagai berikuty β y1 = m x β x1y β 8 = 2 x β 2y β 8 = 2x β 4y β 2x = -4 + 8y β 2x = 4Soal ini jawabannya soal 9 UN 2016 SMPPersamaan garis b seperti tampak pada gambar adalahβ¦Contoh soal persamaan garis lurus nomor 9A. 2y = x β 1B. 2y = β x β 1 C. 2y = x + 1 D. 2y = -x + 1Pembahasan / penyelesaian soalPada gambar diatas titik yang dilalui garis a adalah -1, 0 dan 0, 2 sehingga kita dapat gradien garis a sebagai berikutβ ma = y β yx β x β mb = 2 β 00 β -1 = 2Karena garis a dan b saling tegak lurus maka berlaku hubungan ma . mb = -1. Maka kita perolehβ mb = -1ma β mb = β 12 Jadi persamaan garis b melalui titik -1, 0 sebagai berikuty β yb = mb x β xby β 0 = -1/2 x β -1y = -1/2x β 1/2 dikali 22y = -x β 1Soal ini jawabannya soal 10Persamaan garis lurus yang melalui titik 6, -3 dan tegak lurus garis 2x + 3y β 5 = 0 adalahβ¦A. 3/2 x β 3 B. y = 3/2 x β 6 C. 3/2 x β 9 D. 3/2 x β 12Pembahasan / penyelesaian soalPersamaan garis diatas dapat diubah bentuknya menjadi seperti dibawah ini2x + 3y β 5 = 03y = -2x + 5y = -2/3x + 5/3Jadi kita ketahui m1 = -2/3. Karena tegak lurus maka berlaku m1 . m2 = -1 sehingga kita perolehβ m2 = -1m1 β m2 = -1-2/3 = 3/2Jadi persamaan garis yang melalui titik 6, -3 sebagai berikuty β y2 = m x β x2y β -3 = 3/2 x β 6y + 3 = 3/2x β 9y = 3/2x β 9 β 3y = 3/2x β 12Soal ini jawabannya E.
Pembahasan soal Matematika SMP Ujian Nasional UN tahun 2016 nomor 21 sampai dengan nomor 25 tentang grafik fungsi kuadrat, sistem persamaan linear, garis dan sudut, serta sifat segitiga. Soal No. 21 tentang Grafik Fungsi Garis Lurus Persamaan garis b seperti tampak pada gambar adalah β¦. A. 2y = x β 1 B. 2y = βx β 1 C. 2y = x + 1 D. 2y = βx + 1 Garis a melalui titik β1, 0 dan 0, 2. Gradien garis a adalah ma = y/x = 2 β 0/0 β β1 = 2 Garis b tegak lurus garis a. Dua garis yang saling tegak lurus, perkalian gradiennya sama dengan β1. ma Γ mb = β1 2 Γ mb = β1 mb = β1/2 Garis b melalui titik β1,0 dengan gradien β1/2 adalah y β y1 = mx β y1 y β 0 = β1/2 x + 1 Masing-masing suku kalikan dengan 2, diperoleh 2y = βx β 1 Jadi, persamaan garis b adalah 2y = βx β 1 B. Soal No 22 tentang Sistem Persamaan Linear Seorang tukang parkir mendapat uang sebesar dari 3 buah mobil dan 5 buah motor, sedangkan dari 4 buah mobil dan 2 buah motor ia mendapat uang Jika terdapat 20 mobil dan 30 motor, banyak uang parkir yang ia peroleh adalah β¦. A. B. C. D. Pembahasan Kita misalkan terlebih dahulu. x mobil y motor Model matematika untuk soal di atas adalah 3x + 5y = β¦ 1 4x + 2y = 2x + y = β¦ 2 Sekarang kita eliminasi 2 persamaan tersebut. 2x + y = Γ5 10x + 5y = 3x + 5y = Γ1 3x + 5y = β―β―β―β―β―β―β―β―β―β―β―β― β 7x = x = Substitusi x = ke persamaan 2. 2x + y = 2Γ + y = + y = y = Jika terdapat 20 mobil dan 30 motor, banyak uang parkir yang ia peroleh adalah 20x + 30y = 20Γ + 30Γ = + = Jadi, banyak uang parkir yang ia peroleh adalah C. Soal No. 23 tentang Garis dan Sudut Perhatikan gambar berikut! Besar pelurus sudut KLN adalah β¦. A. 31Β° B. 72Β° C. 85Β° D. 155Β° Pembahasan Hati-hati dengan soal di atas, yang ditanyakan bukan sudut KLN, tetapi pelurus sudut KLN, yaitu sudut MLN. Karena kedua sudut saling berpelurus maka jumlah keduanya adalah 180Β°. β KLN + β MLN = 180Β° 3x + 15Β° + 2x + 10Β° = 180Β° 5x + 25Β° = 180Β° 5x = 155Β° x = 31Β° Dengan demikian, pelurus β KLN adalah pelurus β KLN = β MLN = 2x + 10Β° = 2Γ31Β° + 10Β° = 62Β° + 10Β° = 72Β° Jadi, pelurus sudut KLM adalah 72Β° B. Soal No. 24 tentang Garis dan Sudut Perhatikan gambar! Besar sudut BAC adalah β¦. A. 30Β° B. 40Β° C. 50Β° D. 90Β° Pembahasan Sudut ABC berpelurus dengan sudut CBD sehingga β ABC + β CBD = 180Β° β ABC + 140Β° = 180Β° β ABC = 40Β° Sementara itu, jumlah sudut-sudut segitiga sama dengan 180Β°. β A + β B + β C = 180Β° y + 10Β° + 40Β° + 2y +10Β° = 180Β° 3y + 60Β° = 180Β° 3y = 120Β° y = 40Β° Nah, sekarang masuk ke pertanyaan. β BAC = y + 10Β° = 40Β° + 10Β° = 50Β° Jadi, Besar sudut BAC adalah 50Β° C. Soal No. 25 tentang Sifat Segitiga Panjang sisi sebuah segitiga adalah p, q, dan r, dengan p > q > r. Pernyataan yang benar untuk segitiga tersebut adalah β¦. A. p + q p C. p β q q Pembahasan Syarat terbentuknya segitiga adalah sisi terpanjang harus lebih kecil dari jumlah dua sisi lainnya. Jika panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah p, q, dan r, dengan p > q > r p sisi terpanjang maka berlaku q + r > p Bentuk di atas tidak terdapat pada opsi jawaban. Mari kita pindah ruas! q β p > βr Masih tidak ada. Sekarang masing-masing suku dikalikan negatif tanda pertidaksamaan akan berubah βq + p < r p β q < r Nah, ada kan? Jadi, pernyataan yang benar untuk segitiga tersebut adalah opsi C. Simak Pembahasan Soal Matematika SMP UN 2016 selengkapnya. Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf di sini. Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.
Geometri adalah salah satu cabang matematika yang mempelajari tentang bangun dan bentuk. Geometri identik dengan visualisasi gambar yang perlu dihadirkan untuk memahami bagaimana sifat-sifat bentuk dan bangun tersebut. Pada umumnya, geometri dibagi menjadi dua bagian utama, yakni geometri bangun datar dan geometri bangun ruang. Meskipun begitu, geometri sebenarnya dikaji secara luas apabila dipelajari secara lebih mendalam. Berikut ini telah disediakan sejumlah soal geometri bangun datar yang juga telah dilengkapi dengan pembahasannya untuk setiap nomor. Soal ini cocok dipelajari untuk siswa/i SMP dan SMA, terutama bagi mereka yang sedang mempersiapkan lomba. Semoga dapat membantu meningkatkan kemampuan menjelajahi dunia geometri. Quote by Confucius Mengetahui bahwa sesuatu salah, tetapi tetap melakukannya, itulah yang benar-benar disebut sebagai kesalahan. Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1 Sebuah persegi panjang dibagi menjadi 6 persegi seperti tampak pada gambar. Panjang sisi persegi terkecil adalah 1 cm. Panjang sisi persegi terbesar adalah $\cdots \cdot$ A. $4$ cm D. $7$ cm B. $5$ cm E. $8$ cm C. $6$ cm Pembahasan Misalkan persegi yang berwarna kuning memiliki panjang sisi $x$ cm. Selanjutnya, kita peroleh panjang sisi persegi yang lain dalam $x$ seperti tampak pada gambar di atas. Perhatikan panjang dan lebar sisi persegi panjang terbesar. Lebarnya adalah $x + 2,$ sedangkan panjangnya jika dipandang dari sisi bawah adalah $x-1+x-2 = 2x-3.$ Karena persegi memiliki empat sisi yang sama panjang, kita peroleh $$\begin{aligned} x+2 & = 2x-3 \\ \Rightarrow x & = 5. \end{aligned}$$Dengan demikian, panjang sisi persegi terbesar adalah $\boxed{5 + 2 = 7~\text{cm}}$ Jawaban D [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan β Keliling dan Luas Bangun Datar Tingkat Lanjut Soal Nomor 2 Sebuah persegi dengan total luas $125~\text{cm}^2$ dibagi menjadi lima daerah yang sama luasnya seperti gambar. Daerah itu berupa empat persegi dan bangun datar berbentuk huruf L. Panjang sisi terpendek dari bangun datar berbentuk L tersebut adalah $\cdots$ cm. A. $1$ D. $3\sqrt5-1$ B. $1,2$ E. $3\sqrt5+1$ C. $5\sqrt5-10$ Pembahasan Karena luas total persegi besar adalah $125~\text{cm}^2,$ maka luas masing-masing daerah adalah $125 \div 5 = 25~\text{cm}^2.$ Ini menunjukkan bahwa panjang sisi persegi adalah $5~\text{cm}.$ Misalkan panjang sisi terpendek dari bangun datar berbentuk L adalah $x.$ Perhatikan gambar. Luas bangun ini juga $25~\text{cm}^2$ sehingga diperoleh $$\begin{aligned} 10x + 10+xx & = 25 \\ 10x + 10x + x^2 & = 25 \\ x^2 + 20x & = 25 \\ x+10^2-100 & = 25 \\ x+10^2 &= 125\\ x+10 & = \pm 5\sqrt5 \\ x & = \pm 5\sqrt5-10. \end{aligned}$$Karena ukuran panjang tidak mungkin bernilai negatif, maka diambil $x = 5\sqrt5-10.$ Jadi, panjang sisi terpendek tersebut adalah $\boxed{5\sqrt5-10~\text{cm}}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 3 Perhatikan gambar persegi berikut. Persegi kecil yang diberi warna jingga memiliki luas yang sama. Jika panjang sisinya $1$ satuan, maka panjang sisi persegi terbesar adalah $\cdots$ satuan. A. $\sqrt2$ D. $2+2\sqrt2$ B. $2$ E. $2\sqrt2 + 4$ C. $2\sqrt2$ Pembahasan Karena panjang sisi persegi kecil adalah $1$ satuan, maka panjang diagonalnya dengan menggunakan rumus Pythagoras adalah $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt2$ satuan. Jadi, panjang sisi persegi terbesar adalah $$\boxed{1 + \sqrt2 + \sqrt2 + 1 = 2 + 2\sqrt2~\text{satuan}}$$Jawaban D [collapse] Soal Nomor 4 Dua segitiga sama sisi yang kongruen dengan keliling $24$ cm tumpang-tindih sedemikian sehingga sisi-sisinya saling sejajar. Keliling segi enam yang terbentuk dari irisan kedua segitiga itu adalah $\cdots \cdot$ A. $11$ cm D. $16$ cm B. $12$ cm E. $18$ cm C. $14$ cm Pembahasan Perhatikan bahwa posisi kedua segitiga tersebut membentuk beberapa daerah yang berbentuk segitiga sama sisi. Kita misalkan panjang sisinya masing-masing $a, b,$ dan $c$ seperti tampak pada gambar. Karena keliling segitiga sama sisi yang besar adalah $24$ cm, maka panjang sisinya adalah $24 \div 3 = 8$ cm. Permisalan sebelumnya menunjukkan bahwa $a + b + c = 8$ cm. Sekarang perhatikan segi enam yang terbentuk. Kelilingnya adalah jumlah panjang semua sisinya, yaitu $$\boxed{2a + 2b + 2c = 2a + b + c = 28 = 16~\text{cm}}$$Jawaban D [collapse] Soal Nomor 5 Segitiga $PQR$ adalah segitiga siku-siku di $P$ dengan $PQ = 2$ dan $PR = 2\sqrt3.$ Garis tinggi $PL$ memotong garis berat $RM$ di titik $F.$ Panjang $PF$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\dfrac{\sqrt3}{2}$ D. $\dfrac{4\sqrt3}{9}$ B. $\dfrac{3\sqrt3}{7}$ E. $\dfrac{5\sqrt3}{7}$ C. $\dfrac{4\sqrt3}{7}$ Pembahasan Misalkan segitiga $PQR$ tersebut diletakkan pada bidang koordinat Kartesius sedemikian sehingga titik $P$ berada di titik asal $0, 0.$ Dengan demikian, diperoleh $Q2, 0, M1, 0,$ dan $R0, 2\sqrt3.$ Kita akan mencari koordinat $F$ dengan terlebih dahulu mencari persamaan garis $MR$ dan $PL.$ Persamaan garis $MR$ Karena $M1, 0$ dan $R0, 2\sqrt3,$ maka persamaan garisnya adalah $1y + 2\sqrt3x = 12\sqrt3$ atau disederhanakan menjadi $y + 2\sqrt3x = 2\sqrt3.$ Persamaan garis $PL$ Perhatikan bahwa $PL \perp QR.$ Gradien garis $QR$ adalah $m_{QR} = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{-2\sqrt3}{2} = -\sqrt3.$ Persamaan garis yang tegak lurus dengannya, yaitu $PL,$ bergradien $m_{PL} = -\dfrac{1}{m_{QR}} = \dfrac{1}{\sqrt3}.$ Persamaan garis yang melalui titik $P0,0$ dan bergradien $m_{QR} = \dfrac{1}{\sqrt3}$ adalah $$\begin{aligned} y-y_1 & = mx-x_1 \\ y-0 & = \dfrac{1}{\sqrt3}x-0 \\ y & = \dfrac13\sqrt3x. \end{aligned}$$ Kita peroleh dua persamaan berikut. $$\begin{cases} y + 2\sqrt3x & = 2\sqrt3 \\ y & = \dfrac13\sqrt3x \end{cases}$$Selesaikan dengan metode substitusi. $$\begin{aligned} y + 2\sqrt3x & = 2\sqrt3 \\ \Rightarrow \dfrac13\sqrt3x + 2\sqrt3x & = 2\sqrt3 \\ \dfrac73\sqrt3x & = 2\sqrt3 \\ x & = \dfrac67 \end{aligned}$$Akibatnya, $y = \dfrac{6}{7\sqrt3}.$ Jadi, koordinat $F$ adalah $\left\dfrac67, \dfrac{6}{7\sqrt3}\right.$ Panjang $PF$ dapat dicari dengan rumus Pythagoras karena kedua titik ujungnya telah diketahui koordinatnya. $$\begin{aligned} PF & = \sqrt{\left\dfrac67-0\right^2+\left\dfrac{6}{7\sqrt3}-0\right^2} \\ & = \sqrt{\dfrac{36}{49}+\dfrac{36}{49 \cdot 3}} \\ & = \sqrt{\dfrac{4 \cdot 36}{49 \cdot 3}} \\ & = \dfrac{12}{7\sqrt3} \\ & = \dfrac{4\sqrt3}{7} \end{aligned}$$Jadi, panjang $PF$ adalah $\boxed{\dfrac{4\sqrt3}{7}}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 6 $PA$ adalah garis singgung lingkaran yang berpusat di titik $O.$ Jika $PC$ membagi dua sudut $APB$ sama besar, maka berapakah besar sudut $ACP$? A. $30^\circ.$ C. $50^\circ.$ E. $75^\circ.$ B. $45^\circ.$ D. $60^\circ.$ Pembahasan Tarik garis dari $O$ ke $A.$ Karena $PA$ merupakan garis singgung lingkaran, maka $OA \perp PA.$ Perhatikan juga bahwa $AB$ dan $AO$ menghadap busur yang sama sehingga sudut pada $AO$ nilainya dua kali dari sudut pada $AB.$ Kita lakukan permisalan seperti yang tampak pada gambar berikut. Pada $\triangle ACP$ dan $\triangle BCP$ berturut-turut berlaku $$\begin{aligned} \angle A + x + p & = 180^\circ && \cdots 1 \\ \alpha + y + p & = 180^\circ && \cdots 2 \end{aligned}$$Jumlahkan kedua persamaan itu sehingga didapat $$\begin{aligned} \angle A + \alpha + x + y + 2p & = 360^\circ \\ \angle A + \alpha + 180^\circ + 2p & = 360^\circ \\ \angle A + \alpha + 2p & = 180^\circ. \end{aligned}$$Pada $\triangle AOP$ berlaku $$\begin{aligned} 90^\circ + 2a + 2p & = 180^\circ \\ 2a + 2p & = 90^\circ \\ a + p & = 45^\circ \\ \alpha & = 45^\circ-p. \end{aligned}$$Selanjutnya, pada $\triangle ABP$ berlaku $$\begin{aligned} \angle A + \alpha + 2p & = 180^\circ \\ \angle A + 45^\circ-p + 2p & = 180^\circ \\ \angle A + p & = 135^\circ. \end{aligned}$$Substitusi hasil ini ke persamaan $1.$ $$\begin{aligned} \angle A + x + p & = 180^\circ \\ \angle A + p + x & = 180^\circ \\ 135^\circ + x & = 180^\circ \\ x & = 45^\circ \end{aligned}$$Jadi, besar sudut $ACP$ adalah $\boxed{45^\circ}$ Jawaban B [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan β Lingkaran Tingkat SD Soal Nomor 7 Dua segi enam beraturan yang sama diletakkan di dalam sebuah jajaran genjang seperti tampak pada gambar. Berapa perbandingan jumlah luas kedua segi enam terhadap luas jajaran genjang? A. $1 2$ D. $2 3$ B. $1 3$ E. $2 5$ C. $1 4$ Pembahasan Bagilah jajaran genjang beserta segi enam dengan ruas-ruas garis sehingga diperoleh sejumlah segitiga sama sisi seperti tampak pada gambar. Ada $24$ segitiga sama sisi pembentuk jajaran genjang, sedangkan ada $12$ segitiga sama sisi pembentuk segi enam. Jadi, perbandingan jumlah luas kedua segi enam terhadap luas jajaran genjang adalah $\boxed{12 24 = 1 2}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 8 Gambar di bawah merupakan segi delapan oktagon beraturan. Jika luas daerah yang diarsir adalah $6$ satuan luas, maka luas segi delapan tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $18$ D. $24$ B. $21$ E. $28$ C. $22$ Pembahasan Pada segi delapan beraturan, panjang delapan sisinya sama. Kita misalkan sebagai $x.$ Perhatikan sketsa gambar berikut. Daerah yang diarsir adalah trapesium sama kaki. Panjang sisi siku segitiga dapat dicari dengan menggunakan rumus Pythagoras. $$\begin{aligned} a^2 + a^2 & = x^2 \\ 2a^2 & = x^2 \\ a^2 & = \dfrac{x^2}{2} \\ a & = \sqrt{\dfrac{x^2}{2}} = \dfrac{x}{\sqrt2} \end{aligned}$$Karena luas trapesium daerah yang diarsir adalah $6$ satuan luas, maka kita peroleh $$\begin{aligned} \text{Luas trapesium} & = 6 \\ 2 \cdot \text{Luas segitiga} + \text{Luas persegi panjang} & = 6 \\ 2 \cdot \dfrac12 \cdot \left\dfrac{x}{\sqrt2}\right^2 + \dfrac{x}{\sqrt2} \cdot x & = 6 \\ \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^2}{\sqrt2} & = 6 \\ x^2 \left\dfrac12 + \dfrac12\sqrt2\right & = 6 \\ x^2 & = \dfrac{6}{\dfrac12 + \dfrac12\sqrt2} \\ x & = \dfrac{12}{1 + \sqrt2}. \end{aligned}$$Luas segi delapan dapat dicari jika diketahui panjang sisinya $x$, yaitu $\boxed{L = 2x^2\sqrt2 + 1}$ $$\begin{aligned} \text{Luas segitiga-8} & = 2x^2\sqrt2+1 \\ & = 2\left\dfrac{12}{\cancel{1 + \sqrt2}}\right\cancel{\sqrt2+1} \\ & = 212 = 24 \end{aligned}$$ Jadi, luas segi delapan itu adalah $24$ satuan luas. Jawaban D [collapse] Soal Nomor 9 $ABCDEF$ adalah segi enam beraturan dengan $M$ dan $N$ terletak di tengah sisi yang saling berhadapan seperti tampak pada gambar. Jika luas segi enam ini adalah $120,$ maka hasil kali nilai panjang $AD$ dan $MN$ adalah $\cdots \cdot$ A. $200$ D. $140$ B. $180$ E. $100$ C. $160$ Pembahasan segi enam beraturan tersusun dari 6 segitiga sama sisi seperti tampak pada gambar. Misalkan panjang sisinya adalah $x.$ Diketahui bahwa luas segi enam adalah $120,$ sehingga luas segitiga sama sisi adalah $\dfrac{120}{6} = 20.$ Dengan menggunakan rumus luas segitiga menurut sinus, diperoleh $$\begin{aligned} L_{\triangle} & = \dfrac12ab \sin \theta \\ 20 & = \dfrac12xx \sin 60^\circ \\ 20 & = \dfrac12x^2 \cdot \dfrac12\sqrt3 \\ x^2 & = \dfrac{80}{\sqrt3}. \end{aligned}$$Panjang $MN$ sama dengan dua kalinya panjang $M$ ke $O$ titik tengah segi enam yang juga merupakan tinggi segitiga sama sisi tersebut. Untuk itu, kita dapat menggunakan rumus Pythagoras untuk mencarinya. $$\begin{aligned} MN & = 2MO \\ & = 2 \cdot \sqrt{x^2-\left\dfrac{x}{2}\right^2} \\ & = 2 \cdot \dfrac12x\sqrt3 \\ & = x\sqrt3 \end{aligned}$$Panjang $AD$ jelas adalah $x + x = 2x.$ Kita peroleh $$\begin{aligned} AD \cdot MN & = 2x \cdot x\sqrt3 \\ & = 2x^2\sqrt3 \\ & = 2 \cdot \dfrac{80}{\cancel{\sqrt3}} \cdot \cancel{\sqrt3} \\ & = 160. \end{aligned}$$Jadi, hasil kali nilai panjang $AD$ dan $MN$ adalah $\boxed{160}$ Jawaban C [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan β Lingkaran Tingkat SMP Soal Nomor 10 Pada gambar berikut, $ABCDEF$ adalah segi enam beraturan dengan $P$ di tengah $AB$ serta $Q$ dan $R$ berturut-turut adalah titik potong $PD$ dan $PE$ terhadap diagonal $CE.$ Berapakah perbandingan luas segitiga $PFR$ dan luas trapesium $EDQR$? A. $\dfrac12$ C. $\dfrac14$ E. $\dfrac34$ B. $\dfrac13$ D. $\dfrac23$ Pembahasan Misalkan $x$ adalah panjang sisi segi enam, titik $O$ adalah titik tengah segi enam, dan titik $S$ adalah titik tengah $ED.$ $\triangle AOB$ adalah segitiga sama sisi. Karena $P$ berada di tengah $AB,$ kita peroleh bahwa $PB = \dfrac12x$ dan $BO = x.$ Dengan menggunakan rumus Pythagoras, $$\begin{aligned} PO & = \sqrt{BO^2-PB^2} \\ & = \sqrt{x^2-\dfrac14x^2} \\ & = \dfrac12\sqrt3x. \end{aligned}$$Karena segi enam ini beraturan, maka panjang $PO$ sama dengan panjang $OS.$ Perhatikan bahwa $\triangle PRQ$ dan $\triangle PED$ sebangun karena ketiga sudutnya sama besar. Karena tinggi $\triangle PED$ dua kali lipatnya dan $ED = x,$ maka $RQ = \dfrac12x.$ Panjang $FC = x + x = 2x$ sehingga $FR = QC = \dfrac{2x-\dfrac12x}{2} = \dfrac34x.$ Luas $\triangle PFR$ sekarang dapat dicari. $$\begin{aligned} L_{\triangle PFR} & = \dfrac12 FRPO \\ & = \dfrac12 \cdot \dfrac34x \cdot \dfrac12\sqrt3x \\ & = \dfrac{3}{16}\sqrt3x \end{aligned}$$Luas trapesium $EDQR$ juga dapat dicari. $$\begin{aligned} L_{EDQR} & = \dfrac{ED+RQ}{2} \cdot OS \\ & = \dfrac{x + \dfrac12x}{2} \cdot \dfrac12\sqrt3x \\ & = \dfrac34x \cdot \dfrac12\sqrt3x \\ & = \dfrac38\sqrt3x^2 \end{aligned}$$Dengan demikian, perbandingan luas keduanya dinyatakan sebagai berikut. $$\begin{aligned} L_{\triangle PFR} L_{EDQR} & = \dfrac{3}{16}\cancel{\sqrt3x^2} \dfrac38\cancel{\sqrt3x^2} \\ & = \dfrac{3}{16} \dfrac38 \\ & = \dfrac{3}{16}16 \dfrac3816 \\ & = 3 6 \\ & = 1 2 \end{aligned}$$Jadi, perbandingan luas segitiga dan trapesium tersebut adalah $\boxed{\dfrac12}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 11 Pada gambar berikut, $ABCD$ adalah trapesium sama kaki, sedangkan $X$ dan $Y$ terletak tepat di tengah-tengah sisi $AD$ dan $BC.$ Jika luas daerah yang diarsir adalah $28~\text{cm}^2,$ maka berapakah luas $ABCD$? A. $30$ C. $42$ E. $56$ B. $35$ D. $48$ Pembahasan Posisikan titik $O$ sehingga $XO \perp OD,$ titik $P$ sehingga $AP \perp PX,$ dan $Q$ sehingga $XQ \perp QD$ seperti tampak pada gambar. Perhatikan bahwa $\angle AXP = \angle QXD$ karena merupakan pasangan sudut yang saling berseberangan. Diketahui juga $\angle XQD = \angle APX = 90^\circ$ sehingga sudut ketiga pasti memiliki besar yang sama pula. Karena ada satu sisi yang sama panjang, yaitu $AX = XD,$ maka $\triangle APX$ dan $\triangle XQD$ kongruen sehingga $AP = QD$ dan $PX = XQ.$ Jadi, kita bisa memindahkan $\triangle APX$ ke $\triangle XQD,$ begitu juga dengan segitiga di sebelah kanan sisi trapesium. Kita peroleh bahwa luas trapesium akan sama dengan $2$ kali luas daerah yang diarsir, yakni $\boxed{28 \times 2 = 56~\text{cm}^2}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 12 Pada gambar berikut, $PQRS$ merupakan persegi dengan panjang sisi $2$ cm. Diketahui bahwa $\triangle QRM$ dan $\triangle SRN$ merupakan segitiga sama sisi. Berapakah panjang $MN$? A. $5\sqrt2$ D. $2\sqrt2$ B. $4\sqrt2$ E. $\sqrt2$ C. $3\sqrt2$ Pembahasan Tarik garis $MN$ sehingga diperoleh segitiga $MNR.$ Perhatikan bahwa $SR = RQ = 2$ sehingga $MR = RN = 2$ karena merupakan sisi dari segitiga sama sisi yang kongruen. Jika titik baru $O$ diposisikan sedemikian rupa sehingga $MRNO$ merupakan persegi, maka $MN$ adalah diagonalnya. Dengan menggunakan rumus Pythagoras, panjang $MN$ sama dengan $\boxed{\sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt2}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 13 Dua setengah lingkaran semicircles digambarkan seperti berikut. Tali busur $CD$ yang panjangnya $8$ sejajar dengan diameter $AB$ dari setengah lingkaran yang besar. Tali busur tersebut menyinggung setengah lingkaran kecil. Luas daerah yang diarsir adalah $\cdots \cdot$ A. $6\pi$ C. $10\pi$ E. $16\pi$ B. $8\pi$ D. $12\pi$ Pembahasan Misalkan titik $O$ adalah titik pusat setengah lingkaran besar. Tarik garis penghubung $OC$ dan $OD$ yang merupakan jari-jari setengah lingkaran besar seperti tampak pada gambar. Segitiga $COD$ merupakan segitiga siku-siku di $O.$ Dengan demikian, kita bisa mencari nilai $R$ panjang jari-jari setengah lingkaran besar dengan menggunakan rumus Pythagoras. $$\begin{aligned} OC^2 + OD^2 & = CD^2 \\ R^2 + R^2 & = 8^2 \\ 2R^2 & = 64 \\ R^2 & = 32 \end{aligned}$$Misalkan $r$ adalah panjang jari-jari setengah lingkaran kecil. Luas segitiga $COD$ dapat kita tentukan dengan menggunakan prinsip kesamaan alas dan tinggi. $$\begin{aligned} \cancel{\dfrac12} \cdot R \cdot R & = \cancel{\dfrac12} \cdot r \cdot CD \\ 32 & = r \cdot 8 \\ r & = 4 \end{aligned}$$Luas daerah yang diarsir sama dengan selisih luas setengah lingkaran besar dan lingkaran kecil. $$\begin{aligned} L_{\text{arsir}} & = L_{\text{besar}}-L_{\text{kecil}} \\ & = \dfrac12 \pi R^2 -\dfrac12 \pi r^2 \\ & = \dfrac12\piR^2-r^2 \\ & = \dfrac12\pi32-4^2 \\ & = 8\pi \end{aligned}$$Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $\boxed{8\pi}$ Jawaban B [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan β Garis Singgung Lingkaran Tingkat SMP Soal Nomor 14 Gambar berikut menunjukkan juring sector lingkaran dengan satu lingkaran dalam incircle. Perbandingan panjang jari-jarinya adalah $3 1.$ Perbandingan luas juring lingkaran terhadap lingkaran dalam tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $2 1$ D. $5 2$ B. $3 2$ E. $5 3$ C. $4 3$ Pembahasan Misalkan panjang jari-jari lingkaran dalam adalah $r$ dan juring lingkaran adalah $R = 3r.$ Titik $O$ diposisikan pada titik pusat lingkaran dalam dan $2\theta$ adalah besar sudut juring lingkaran tersebut. Perhatikan segitiga siku-siku $ABO.$ Diketahui bahwa $OB = r$ dan $AO = R-r = 3r-r = 2r.$ Menurut perbandingan trigonometri sinus, kita peroleh $$\begin{aligned} \sin \theta & = \dfrac{OB}{AO} \\ \sin \theta & = \dfrac{r}{2r} = \dfrac12. \end{aligned}$$Jadi, diperoleh $\theta = 30^\circ.$ Dengan demikian, besar sudut juring lingkaran itu adalah $2 \cdot 30^\circ = 60^\circ.$ Perbandingan luas juring dan lingkaran dalam dapat ditentukan. $$\begin{aligned} L_{\text{juring}} L_{\text{lingkaran dalam}} & = \dfrac{60^\circ}{360^\circ} \pi 3r^2 \pi r^2 \\ & = \dfrac16 \pi 9r^2 \pi r^2 \\ & = \dfrac32 1 \\ & = 3 2 \end{aligned}$$Jadi, perbandingan luas juring lingkaran terhadap lingkaran dalam tersebut adalah $\boxed{3 2}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 15 Pada gambar berikut, terdapat dua lingkaran dengan ukuran berbeda dan sebuah persegi dengan panjang sisi $2$ satuan. Panjang jari-jari lingkaran kecil adalah $\cdots \cdot$ A. $6-4\sqrt2$ D. $2-\sqrt2$ B. $6+4\sqrt2$ E. $\sqrt2$ C. $4-2\sqrt2$ Pembahasan Misalkan titik $B$ adalah titik pusat lingkaran kecil. Buat segitiga $OAB$ yang siku-siku di $A$ seperti tampak pada gambar. Misalkan panjang jari-jari lingkaran kecil adalah $r.$ Karena perseginya memiliki panjang sisi $2,$ maka kita peroleh $OA = AB = 2-r$ dan $OB = 2 + r.$ Sekarang kita gunakan rumus Pythagoras pada $\triangle OAB$ untuk mencari nilai $r.$ $$\begin{aligned} OA^2 + AB^2 & = OB^2 \\ 2-r^2 + 2-r^2 & = 2+r^2 \\ 24-4r+r^2 & = 4+4r+r^2 \\ r^2-12r+4 & = 0 \\ r-6^2-32 & = 0 \\ r-6^2 & = 32 \\ r-6 & = \pm 4\sqrt2 \\ r & = 6 \pm 4\sqrt2 \end{aligned}$$Karena $r = 6 + 4\sqrt2$ nilainya lebih dari $2$ sehingga tidak mungkin menjadi pilihan, maka kita ambil $r = 6-4\sqrt2.$ Jadi, panjang jari-jari lingkaran kecil adalah $\boxed{6-4\sqrt2}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 16 Pada gambar berikut, $XY$ merupakan diameter dari lingkatan kecil dan $S$ merupakan titik yang terletak pada lingkaran kecil sekaligus merupakan titik pusat lingkaran besar. Jika panjang jari-jari lingkaran besar adalah $2$ satuan, maka luas daerah yang diarsir adalah $\cdots$ satuan luas. A. $2$ C. $6$ E. $10$ B. $4$ D. $8$ Pembahasan Posisikan titik $O$ sebagai titik pusat lingkaran kecil. Perhatikan bahwa $OY$ dan $OS$ merupakan jari-jari lingkaran kecil sehingga haruslah $OY = OS = r.$ $SY$ sendiri merupakan jari-jari lingkaran besar sehingga $R = SY = 2.$ Pada $\triangle YOS$ siku-siku di $O$, kita peroleh $r^2$ dengan menggunakan rumus Pythagoras. $$\begin{aligned} OY^2 + OS^2 & = SY^2 \\ r^2 + r^2 & = 2^2 \\ 2r^2 & = 4 \\ r^2 & = 2 \\ r & = \sqrt2 \end{aligned}$$Jadi, panjang jari-jari lingkaran kecil adalah $r = \sqrt2.$ Perhatikan bahwa $SY = SX = 2$ dan $XY = 2\sqrt2$ sehingga rumus Pythagoras terpenuhi. Jadi, $\triangle SXY$ merupakan segitiga siku-siku di $S.$ Selanjutnya, cari tembereng lingkaran besar yang dibatasi oleh $XY$ terlebih dahulu. $$\begin{aligned} L_{\text{tembereng}} &= L_{\text{juring}}-L_{\triangle SXY} \\ & = \dfrac14 \pi R^2-\dfrac12SYSX \\ & = \dfrac14 \pi 2^2-\dfrac1222 \\ & = \pi-2 \end{aligned}$$Luas setengah lingkaran kecil putih adalah $L_{\frac12 O} = \dfrac12\pi r^2 = \dfrac12 \pi 2 = \pi.$ Jadi, luas daerah yang diarsir sama dengan luas lingkaran kecil dikurangi jumlahan luas tembereng dan luas setengah lingkaran kecil. $$L = \pi2-\pi-2+\pi = 2$$Dengan demikian, luas daerah yang diarsir adalah $\boxed{2}$ satuan luas. Jawaban A [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan β Teorema Pythagoras Soal Nomor 17 Pada gambar berikut, persegi panjang dengan panjang sisi $12$ cm memuat $6$ lingkaran kongruen yang diposisikan membentuk formasi segitiga sama sisi dan menyinggung sisi persegi panjang. Berapakah jarak terpendek antara dua lingkaran yang diberi arsir dalam satuan cm? A. $43\sqrt3-2$ B. $43\sqrt3-1$ C. $4\sqrt3-2$ D. $4\sqrt3-1$ E. $4\sqrt3-2$ Pembahasan Buatlah segitiga sama sisi yang melalui titik pusat keenam lingkaran seperti tampak pada gambar. Panjang jari-jari lingkaran adalah $12 \div 3 = 4$ cm. Panjang sisi segitiga tersebut adalah $4+4=8$ cm. Selanjutnya, cari tinggi segitiga $OA$ dengan menggunakan rumus Pythagoras pada $\triangle OAB.$ $$\begin{aligned} OA & = \sqrt{AB^2-OB^2} \\ & = \sqrt{8^2-4^2} \\ & = \sqrt{48} \\ & = 4\sqrt3~\text{cm} \end{aligned}$$Jarak terpendek kedua lingkaran yang diarsir sama dengan tinggi segitiga tersebut dikurangi dua kali panjang jari-jari lingkaran. $$\begin{aligned} \text{Jarak} & = OA-2r \\ & = 4\sqrt3-4 \\ & = 4\sqrt3-1~\text{cm} \end{aligned}$$Jadi, jarak yang dimaksud sejauh $\boxed{4\sqrt3-1~\text{cm}}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 18 Diberikan sebuah segitiga $\triangle ABC.$ Titik $D$ pada $AC$ sehingga $AD AC = 2 3.$ Titik $E$ pada $AB$ sehingga $AE EB = 1 2.$ Titik $F$ merupakan titik potong ruas garis $CE$ dan $BD.$ Jika diketahui luas $\triangle BFC$ adalah $12$ satuan luas, maka luas $\triangle ABC$ adalah $\cdots$ satuan luas. A. $24$ C. $40$ E. $48$ B. $36$ D. $42$ Pembahasan Perhatikan sketsa gambar berikut. Dari perbandingan yang diberikan, kita dapat misalkan $CD = x$ sehingga $AD = 2x$ dan $AE = y$ sehingga $BE = 2y.$ Karena $\triangle AFE$ dan $\triangle BFE$ dapat dipandang sebagai dua segitiga dengan tinggi yang sama, tetapi alasnya berkelipatan, maka dapat kita misalkan luas $\triangle AFE = b$ sehingga luas $\triangle BFE = 2b.$ Prinsip serupa juga berlaku untuk luas $\triangle CFD = a$ sehingga luas $\triangle AFD = 2a.$ Dengan menggunakan perbandingan luas pada keseluruhan $\triangle ABC$ yang dibelah oleh $BD,$ kita peroleh $$\begin{aligned} \dfrac{a+12}{2a+b+2b} & = \dfrac12 \\ 2a+24 & = 2a+3b \\ 3b & = 24 \\ b & = 8. \end{aligned}$$Berikutnya, dengan menggunakan perbandingan luas pada keseluruhan $\triangle ABC$ yang dibelah oleh $CE,$ kita peroleh $$\begin{aligned} \dfrac{a+2a+b}{2b+12} & = \dfrac12 \\ 6a+2b & = 2b+12 \\ 6a & = 12\\ a & = 2. \end{aligned}$$Luas $\triangle ABC$ sama dengan $$\begin{aligned} 12+a+2a+b+2b & = 12+3a+b \\ & = 12+32+8 \\ & = 42~\text{satuan luas}. \end{aligned}$$Jawaban D [collapse] Soal Nomor 19 Pada segitiga $ABC,$ titik $D$ membagi sisi $AC$ sehingga $AD DC = 1 2.$ Misalkan $E$ adalah titik tengah $BD$ dan $F$ adalah titik potong garis $BC$ dan perpanjangan garis $AE.$ Jika luas segitiga $ABC$ adalah $720,$ maka luas segitiga $EBF$ adalah $\cdots \cdot$ A. $180$ C. $80$ E. $40$ B. $120$ D. $60$ Pembahasan Diketahui $L_{\triangle ABC} = 720.$ Karena $D$ pada $AC$ sehingga $AD DC = 1 2,$ maka $$\begin{aligned} L_{\triangle ABD} & = \dfrac{1}{3} \cdot L_{\triangle ABC} = \dfrac13720 = 240 \\ L_{\triangle CBD} & = 720-240 = 480. \end{aligned}$$Selanjutnya perhatikan $\triangle CBD.$ Karena $E$ berada di tengah $BD,$ maka $BE = ED$ yang berakibat $CE$ membelah $\triangle CBD$ menjadi dua bagian yang sama luasnya, yaitu $\dfrac12480 = 240.$ Jika $L_{\triangle EBF} = x,$ maka $L_{\triangle ECF} = 240-x.$ Perhatikan gambar berikut agar lebih jelas. Dengan menggunakan perbandingan luas segitiga dengan satu cevian yang sama, yaitu $EF,$ kita peroleh $$\begin{aligned} \dfrac{L_{\triangle EBF}}{L_{\triangle ABF}} & = \dfrac{L_{\triangle ECF}}{L_{\triangle ACF}} \\ \dfrac{x}{120+x} & = \dfrac{240-x}{120+240+240-x} \\ \dfrac{x}{120+x} & = \dfrac{240-x}{600-x} \\ x600-x & = 120+x240-x \\ -x^2+600x & = \\ 480x & = \\ x & = 60. \end{aligned}$$Jadi, luas segitiga $EBF$ adalah $\boxed{60}$ Catatan Cevian adalah ruas garis yang ditarik dari salah satu titik sudut segitiga ke sisi segitiga di hadapannya. Jawaban D [collapse] Soal Nomor 20 Pada gambar di bawah, beberapa garis sejajar dibuat sehingga membagi dua sisi segitiga menjadi 10 ruas yang sama panjangnya. Berapakah persentase luas daerah yang diberi warna biru terhadap luas keseluruhan segitiga? A. $41,75\%$ D. $46\%$ B. $42,5\%$ E. $48\%$ C. $45\%$ Pembahasan Perhatikan gambar berikut. Misalkan luas $\triangle ABC = 1.$ Karena ketiga sudut pada $\triangle ADE$ bersesuaian dengan sudut pada $\triangle ABC,$ maka kedua segitiga ini sebangun. Panjang alas dan tinggi $\triangle ADE$ dua kali lipatnya dari $\triangle ABC$ sehingga luas $\triangle ADE = 22 = 4.$ Jika prinsip ini dilanjutkan, kita peroleh luas segitiga berikutnya adalah $9, 16, 25, 36, \cdots, 100.$ Persentase luas daerah yang diberi warna biru terhadap luas keseluruhan segitiga adalah sebagai berikut. $$\begin{aligned} \text{Persentase Luas} & = \dfrac{1 + 9-4 + 25-16 + 36-25 + 64-49 +100-81}{100} \times 100\% \\ & = 1 + 5 + 9 + 11 + 17\% \\ & = 45\% \end{aligned}$$Jawaban C [collapse] Soal Nomor 21 Diberikan suatu persegi panjang dengan lebar $4.$ Di dalamnya terdapat satu lingkaran besar dan dua lingkaran kecil yang kongruen. Setiap lingkaran saling bersinggungan satu sama lain dan menyinggung sisi-sisi persegi panjang. Panjang persegi panjang tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $6$ D. $4\sqrt3$ B. $3\sqrt2$ E. $6\sqrt2$ C. $4\sqrt2$ Pembahasan Misalkan $O$ dan $P$ berturut-turut adalah titik pusat lingkaran besar dan kecil, sedangkan $Q$ adalah titik singgung kedua lingkaran kecil. Karena lebar persegi panjang $4,$ maka diameter lingkaran besar juga $4$ sehingga jari-jarinya memiliki panjang $2,$ sedangkan lingkaran kecil memiliki panjang jari-jari $1.$ Kita peroleh $AP = 2+1 = 3$ dan $PQ = 1$ sehingga dengan menggunakan rumus Pythagoras, didapat $$\begin{aligned} OQ & = \sqrt{OP^2-PQ^2} \\ & = \sqrt{3^2-1^2} \\ & = 2\sqrt2. \end{aligned}$$Jadi, panjang persegi panjang adalah $$\begin{aligned} AB & = AO + OQ + QB \\ & = 2 + 2\sqrt2 + 1 \\ & = 3 + 2\sqrt2. \end{aligned}$$Jawaban B [collapse] Soal Nomor 22 Sejumlah lingkaran diposisikan sedemikian rupa sehingga titik pusatnya merupakan titik sudut suatu persegi. Ada dua lingkaran besar dan dua lingkaran kecil yang masing-masing kongruen seperti tampak pada gambar. Berapakah rasio panjang jari-jari lingkaran besar terhadap lingkaran kecil? A. $1$ D. $2$ B. $\sqrt2$ E. $2,5$ C. $1 + \sqrt2$ Pembahasan Misalkan panjang jari-jari lingkaran besar dan kecil berturut-turut adalah $y$ dan $x.$ Buat segitiga siku-siku yang titik sudutnya berada di pusat lingkaran seperti tampak pada gambar. Segitiga siku-siku ini memiliki panjang sisi $x + y, x + y,$ dan $y + y = 2y.$ Dengan menggunakan rumus Pythagoras, kita peroleh $$\begin{aligned} x + y^2 + x + y^2 & = 2y^2 \\ 2x + y^2 & = 22y^2 \\ x + y^2 & = 2y^2 \\ x + y & = \pm y\sqrt2. \end{aligned}$$Karena $x + y$ menyatakan jumlah panjang jari-jari lingkaran yan g nilainya jelas tidak mungkin negatif, maka ambil $x + y = y\sqrt2$ sehingga diperoleh $$\begin{aligned} y\sqrt2-y & = x \\ y\sqrt2-1 & = x \\ \dfrac{y}{x} & = \dfrac{1}{\sqrt2-1} \\ \dfrac{y}{x} & = \dfrac{1}{\sqrt2-1} \cdot \dfrac{\sqrt2+1}{\sqrt2+1} \\ \dfrac{y}{x} & = \sqrt2+1. \end{aligned}$$Jadi, rasio panjang jari-jari lingkaran besar terhadap lingkaran kecil adalah $\boxed{1+\sqrt2}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 23 Persegi panjang $ABCD$ dibagi menjadi sembilan persegi panjang kecil. Bilangan di dalamnya menunjukkan keliling masing-masing persegi panjang. Keliling persegi panjang $ABCD$ adalah $\cdots \cdot$ A. $23$ C. $46$ E. $92$ B. $24$ D. $48$ Pembahasan Misalkan panjang setiap sisi persegi panjang kecil disimbolkan dengan $a, b, c, d, e,$ dan $f$ seperti gambar di bawah. Dari sini, kita tahu bahwa $$\begin{cases} 2b + d & = 11 && \cdots 1 \\ 2a + e & = 20 && \cdots 2 \\ 2b + e & = 8 && \cdots 3 \\ 2c +e & = 11 && \cdots 4 \\ 2b+f & = 12 && \cdots 5 \end{cases}$$Jumlahkan persamaan $4$ dan $5$, kemudian gunakan persamaan $3$ untuk memperoleh $$\begin{aligned} 2b + e + c + f & = 23 \\ \color{red}{2b + e} + 2c + f & = 23 \\ 8 + 2c + f & = 23 \\ 2c + f & = 15.\end{aligned}$$Keliling persegi panjang $ABCD$ dinyatakan sebagai berikut. $$\begin{aligned} k_{ABCD} & = 2a + b + c + d + e + f \\ & = 2b + d + 2a + e + 2c + f \\ & = 11 + 20 + 15 \\ & = 46 \end{aligned}$$Jadi, keliling persegi panjang $ABCD$ adalah $\boxed{46}$ Jawaban C [collapse] Garis Bagi Soal Nomor 1 Diketahui $\triangle ABC$ siku-siku di $B.$ Garis $CD$ merupakan garis bagi yang ditarik dari titik sudut $C.$ Jika panjang $AB = BC = 6$ cm, maka panjang $AD = \cdots$ cm. A. $6-3\sqrt2$ B. $6+3\sqrt2$ C. $12-6\sqrt2$ D. $12+6\sqrt2$ E. $18+6\sqrt2$ Pembahasan Perhatikan sketsa gambar berikut. Karena $\triangle ABC$ siku-siku, maka rumus Pythagoras berlaku. $$\begin{aligned} AC & = \sqrt{AB^2+BC^2} \\ & = \sqrt{6^2+6^2} \\ & = 6\sqrt2~\text{cm} \end{aligned}$$Misalkan panjang $AD = x$ cm sehingga berakibat $DB = 6-x$ cm. Dengan menggunakan teorema perbandingan oleh garis bagi, kita peroleh $$\begin{aligned} \dfrac{AD}{DB} & = \dfrac{AC}{BC} \\ \dfrac{x}{6-x} & = \dfrac{\cancel{6}\sqrt2}{\cancel{6}} \\ x & = 6\sqrt2-\sqrt2x \\ 1+\sqrt2x & = 6\sqrt2 \\ x & = \dfrac{6\sqrt2}{1+\sqrt2} \\ x & = \dfrac{6\sqrt21-\sqrt2}{-1} \\ x & = \sqrt2-16\sqrt2 \\ x & = 12-6\sqrt2 \end{aligned}$$Jadi, panjang $AD$ adalah $\boxed{12-6\sqrt2~\text{cm}}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 2 Diketahui segitiga siku-siku sama kaki $ABC$ dengan sudut siku-siku di $C.$ $D$ adalah titik pada $BC$ sehingga $AD$ adalah garis bagi. Perbandingan luas $\triangle ABD$ dan $\triangle ABC$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\sqrt2$ B. $\sqrt2+1$ C. $\sqrt2-1$ D. $2\sqrt2-1$ E. $2-\sqrt2$ Pembahasan Karena $\triangle ABC$ sama kaki, maka $AC = BC = x.$ Teorema Pythagoras juga berlaku karena segitiga tersebut siku-siku. $$\begin{aligned} AB & = \sqrt{AC^2+BC^2} \\ & = \sqrt{x^2+x^2} \\ & = x\sqrt2 \end{aligned}$$Menurut teorema perbandingan oleh garis bagi, berlaku bahwa $$\dfrac{CD}{DB} = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{x}{x\sqrt2} = \dfrac{1}{\sqrt2}.$$Oleh karena itu, didapat $$\begin{aligned} \dfrac{L_{\triangle ABD}}{L_{\triangle ABC}} & = \dfrac{\cancel{\frac12} \cdot DB \cdot \bcancel{AC}}{\cancel{\frac12} \cdot BC \cdot \bcancel{AC}} \\ & = \dfrac{DB}{BC} \\ & = \dfrac{DB}{CD + DB} \\ & = \dfrac{\sqrt2}{1+\sqrt2} \\ & = -\sqrt21-\sqrt2 \\ & = 2-\sqrt2. \end{aligned}$$Jadi, perbandingan kedua segitiga tersebut adalah $\boxed{2-\sqrt2}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 3 Pada gambar berikut, $\angle ABC$ dan $\angle ECD$ siku-siku serta $AD$ adalah garis bagi $\angle CAB.$ Jika panjang $AB$ adalah $21$ dan $CD$ adalah $28,$ maka berapakah panjang $BE$? A. $\sqrt7$ D. $15$ B. $3\sqrt7$ E. $21$ C. $7$ Pembahasan Perhatikan sketsa gambar berikut. $AD$ merupakan garis bagi sehingga $\angle BAE = \angle CAD.$ Perhatikan bahwa $\triangle ABE$ dan $\triangle DCE$ sebangun berdasarkan kesamaan ketiga sudutnya. Oleh karena itu, berlaku perbandingan $\dfrac{BE}{EC} = \dfrac{AB}{CD} = \dfrac{21}{28} = \dfrac34.$ Misalkan $BE = 3x$ dan $EC = 4x.$ Segitiga $ABC$ siku-siku sehingga rumus Pythagoras berlaku untuk mencari panjang $AC.$ $$\begin{aligned} AC & = \sqrt{AB^2+BC^2} \\ & = \sqrt{21^2+7x^2} \end{aligned}$$Menurut teorema perbandingan oleh garis bagi, berlaku $$\begin{aligned} \dfrac{AC}{CE} & = \dfrac{AB}{BE} \\ \dfrac{\sqrt{21^2 + 7x^2}}{4x} & = \dfrac{21}{3x} \\ \sqrt{21^2 + 7x^2} & = 74 \\ \sqrt{3^2 + x^2} & = 4 \\ 9 + x^2 & = 16 \\ x & = \sqrt7. \end{aligned}$$Jadi, panjang $BE$ adalah $\boxed{3x = 3\sqrt7}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 4 $ABC$ adalah segitiga siku-siku dengan sudut siku-sikunya di $B.$ Jika $AD$ adalah garis bagi pada sudut $A$ dan membagi $BC$ menjadi dua bagian sedemikian sehingga $BD = 2$ dan $CD = 3,$ maka panjang $AD = \cdots \cdot$ A. $2\sqrt3$ D. $4\sqrt2$ B. $2\sqrt5$ E. $4\sqrt3$ C. $2\sqrt6$ Pembahasan Perhatikan sketsa gambar berikut. $AD$ merupakan garis bagi pada sudut $A$ sehingga $\angle BAD = \angle DAC.$ Menurut teorema perbandingan oleh garis bagi, berlaku $$\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac23.$$Misalkan $AB = 2x$ dan $AC = 3x$ untuk suatu $x \in \mathbb{R}^+.$ Perhatikan bahwa $\triangle ABC$ siku-siku sehingga berlaku rumus Pythagoras. $$\begin{aligned} AC^2 & = AB^2 + BC^2 \\ 3x^2 & = 2x^2 + 2+3^2 \\ 9x^2 & = 4x^2 + 25 \\ 5x^2 & = 25 \\ x^2 & = 5 \end{aligned}$$Perhatikan juga bahwa $\triangle ABD$ siku-siku sehingga berlaku rumus Pythagoras. $$\begin{aligned} AD^2 & = AB^2 + BD^2 \\ & = 2x^2 + 2^2 \\ & = 4x^2 + 4 \\ & = 45 + 4 \\ & = 24 \\ AD & = \sqrt{24} = 2\sqrt6 \end{aligned}$$Jadi, panjang $AD$ adalah $\boxed{2\sqrt6}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 5 Pada segitiga $ABC,$ $ED$ adalah garis bagi $\angle BDA$ dan $DF$ adalah garis bagi $\angle ADC.$ Jika $AE = 3,$ $BE = 7,$ $BD = 3DC,$ dan $AC = 32,$ maka panjang $FC = \cdots \cdot$ A. $16$ D. $11$ B. $14$ E. $10$ C. $12$ Pembahasan Misalkan $DC = x$ sehingga $BD = 3x.$ Misalkan juga $FC = y$ sehingga $AC = 32-y.$ Pada $\triangle ABD,$ $ED$ merupakan garis bagi $\angle BDA$ sehingga berlaku teorema perbandingan oleh garis bagi berikut. $$\begin{aligned} \dfrac{BE}{EA} & = \dfrac{BD}{DA} \\ \dfrac73 & = \dfrac{3x}{DA} \\ DA & = \dfrac{9x}{7} \end{aligned}$$Hal yang sama juga berlaku pada $\triangle ADC$ oleh garis bagi $DF.$ $$\begin{aligned} \dfrac{AF}{FC} & = \dfrac{DA}{DC} \\ \dfrac{32-y}{y} & = \dfrac{\frac{9x}{7}}{x} \\ \dfrac{32-y}{y} & = \dfrac97 \\ 9y & = 327-7y \\ 16y & = 327 \\ y & = 27 = 14 \end{aligned}$$Jadi, panjang $FC$ adalah $\boxed{14}$ Jawaban B [collapse]
Berikut ini merupakan soal dan pembahasan mengenai gradien dan persamaan garis lurus yang dianjurkan untuk dipelajari oleh siswa tingkat SMP/Sederajat, terutama untuk menguatkan pemahaman konsep dan persiapan ulangan semester. Soal dapat diunduh dalam format PDF melalui tautan berikut Download PDF, 242 KB. Quote by Charles R. Swindoll Hidup adalah 10% hal yang terjadi pada kita dan 90% bagaimana kita meresponnya. Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1 Gradien garis $PQ$ berdasarkan gambar adalah $\cdots \cdot$ A. $-2$ C. $\dfrac12$ B. $-\dfrac12$ D. $2$ Pembahasan Perhatikan sketsa gambar berikut. Bergerak dari titik $P$ ke $Q$ Turun - sejauh 3 petak, lalu belok kanan + sejauh 6 petak. Gradien garis $PQ$ adalah $\boxed{m = \dfrac{-3}{6} = -\dfrac12}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 2 Perhatikan gambar garis $l$ berikut. Gradien garis $l$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-4$ C. $\dfrac14$ B. $-\dfrac14$ D. $4$ Pembahasan Perhatikan sketsa gambar berikut. Bergerak dari titik yang ditandai dengan noktah hitam lihat gambar di atas Turun - sejauh 1 petak, lalu belok kanan + sejauh $4$ petak. Gradien garis $l$ adalah $\boxed{m_l = β \dfrac{1}{4}}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 3 Gradien garis $k$ pada gambar berikut adalah $\cdots \cdot$ A. $-\dfrac23$ C. $\dfrac32$ B. $-\dfrac32$ D. $\dfrac23$ Pembahasan Garis $k$ memotong sumbu-$X$ dan sumbu-$Y$ berturut-turut di $-3,0$ dan $0,-2$. Karena melalui kedua titik tersebut, maka gradien $k$ dapat ditentukan dengan menggunakan koordinat titiknya. Dari $-3, 0$ bergerak ke $0,-2$ Turun - sejauh $2$ satuan, lalu belok ke kanan + sejauh $3$ satuan. Dengan demikian, gradien garis $k$ adalah $\boxed{m_k = -\dfrac23}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 4 Gradien garis yang tegak lurus terhadap garis $a$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-\dfrac32$ C. $\dfrac23$ B. $-\dfrac23$ D. $\dfrac32$ Pembahasan Perhatikan sketsa gambar berikut. Bergerak dari titik $A$ ke $B$ Turun - sejauh $4$ petak, lalu belok kanan + sejauh $6$ petak. Gradien garis $a$ adalah $m_a = β \dfrac{4}{6} = -\dfrac23$ Gradien garis yang tegak lurus dengan garis $a$ adalah $m = -\dfrac{1}{m_a} = \dfrac{3}{2}$ Secara verbal dinegatifkan lalu dibalik Jawaban D [collapse] Soal Nomor 5 Perhatikan gambar berikut. Gradien garis $c$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-\dfrac12$ C. $\dfrac12$ B. $-2$ D. $2$ Pembahasan Perhatikan sketsa gambar berikut. Gradien garis $k$ dapat ditentukan karena melalui $2$ titik yang koordinatnya telah diketahui, tidak seperti garis $c$. Bergerak dari titik $0,4$ ke $-2,0$ Turun - sejauh $4$ petak, lalu belok kiri - sejauh $2$ petak. Gradien garis $k$ adalah $m_k = \dfrac{-4}{-2} = 2$ Karena garis $k$ dan $c$ sejajar, maka gradiennya sama. Dengan demikian, gradien garis $c$ adalah $\boxed{m_c = 2}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 6 Gradien garis dengan persamaan $5x-4y-20=0$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\dfrac54$ C. $-\dfrac45$ B. $\dfrac45$ D. $-\dfrac54$ Pembahasan Gradien garis $5x-4y-20 = 0$ adalah $m = -\dfrac{\text{Koef.}~x} {\text{Koef.}~y} = -\dfrac{5}{-4} = \dfrac54$ Jadi, gradien garis tersebut adalah $\boxed{m = \dfrac54}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 7 Di antara persamaan garis berikut 1 $2y=8x+20$ 2 $6y=12x+18$ 3 $3y=12x+15$ 4 $3y=-6x+15$ yang grafiknya saling sejajar adalah $\cdots \cdot$ A. $1$ dan $2$ C. $2$ dan $4$ B. $1$ dan $3$ D. $3$ dan $4$ Pembahasan Dalam bentuk $y = mx + c$, $m$ merupakan gradien garisnya. Untuk itu, ubah semua bentuk persamaan garisnya seperti itu. 1 $2y = 8x + 20$ Bagi kedua ruas dengan $2$ sehingga diperoleh $y = 4x + 10$. Gradien garisnya adalah $\color{red} {m_1 = 4}.$ 2 $6y = 12x + 18$ Bagi kedua ruas dengan $6$ sehingga diperoleh $y = 2x + 3$. Gradien garisnya adalah $m_2 = 2.$ 3 $3y = 12x + 15$ Bagi kedua ruas dengan $3$ sehingga diperoleh $y = 4x + 5$. Gradien garisnya adalah $\color{red}{m_3 = 4}.$ 4 $3y = -6x + 15$ Bagi kedua ruas dengan $3$ sehingga diperoleh $y = -2x + 5$. Gradien garisnya adalah $m_4 = -2.$ Dua garis saling sejajar apabila gradiennya sama. Dengan demikian, garis yang saling sejajar adalah $2y = 8x +20$ dan $3y = 12x + 15$ nomor 1 dan 3. Jawaban B [collapse] Soal Nomor 8 Garis $h$ melalui titik $A-2,3$ dan $B2,p$ serta memiliki nilai kemiringan $\dfrac12$. Nilai $p$ adalah $\cdots \cdot$ A. $5$ C. $-1$ B. $1$ D. $-5$ Pembahasan Berdasarkan konsep gradien, kita peroleh $\begin{aligned} \dfrac{y_B -y_A} {x_B -x_A} & = m \\ \dfrac{p -3}{2 -2} & = \dfrac12 \\ \dfrac{p-3}{\cancel{4}} & = \dfrac{2}{\cancel{4}} \\ p -3 & = 2 \\ p & = 5 \end{aligned}$ Jadi, nilai $p$ adalah $\boxed{5}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 9 Persamaan garis yang melalui titik $R-3,-2$ dengan gradien $2$ adalah $\cdots \cdot$ A. $2x+y-4=0$ B. $2x-y+4=0$ C. $2x+y+4=0$ D. $x-y-4=0$ Pembahasan Persamaan garis yang melalui titik $x_1, y_1$ dan bergradien $m$ adalah $y -y_1 = mx -x_1$ Untuk itu, persamaan garis yang melalui titik $-3, -2$ dan bergradien $2$ adalah $\begin{aligned} y -2 & = 2x -3 \\ y + 2 & = 2x + 6 \\ y β 2x + 2 -6 & = 0 \\ y -2x -4 & = 0 \\ \text{Kalikan kedua ruas} ~&\text{dengan}~-1 \\ 2x -y + 4 & = 0 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis yang melalui titik $R-3,-2$ dengan gradien $2$ adalah $\boxed{2x -y + 4 = 0}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 10 Persamaan garis yang melalui titik $2, -5$ dan sejajar dengan garis $4y-3x=-4$ adalah $\cdots \cdot$ A. $3y+4x+2=0$ B. $3y-4x-2=0$ C. $4y-3x-26=0$ D. $4y-3x+26=0$ Pembahasan Cara 1 Gradien garis $4y -3x = -4$ adalah $m_1 = -\dfrac{\text{Koef.}~x} {\text{Koef.}~y} = -\dfrac{-3}{4} = \dfrac34$ Karena sejajar, maka gradien garis $m = m_1 = \dfrac34$. Persamaan garis yang melalui titik $2, -5$ dan bergradien $\dfrac34$ adalah $\begin{aligned} y -y_1 & = mx -x_1 \\ y -5 & = \dfrac34x -2 \\ 4y+5 & = 3x-2 \\ 4y + 20 & = 3x -6 \\ 4y- 3x + 26 & = 0 \end{aligned}$ Cara 2 Persamaan garis yang sejajar berbentuk $4y -3x = c$. Substitusikan $x = 2$ dan $y =-5$. $\begin{aligned} 4-5 -32 & = c \\ -20 -6 & = c \\ c & = -26 \end{aligned}$ Dengan demikian, persamaan garisnya berbentuk $4y-3x=-26$ atau ditulis menjadi $4y -3x + 26 = 0$ Jadi, persamaan garis yang melalui titik $2, -5$ dan sejajar dengan garis $4y-3x=-4$ adalah $\boxed{4y-3x+26=0}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 11 Persamaan garis yang melalui titik $4, -5$ dan sejajar dengan garis $y=-\dfrac23x+6$ adalah $\cdots \cdot$ A. $2y-3x=-23$ B. $2y+3x=-6$ C. $3y-2x=2$ D. $3y+2x=-7$ Pembahasan Cara 1 Gradien garis $y = -\dfrac23x + 6$ adalah $m_1 = = -\dfrac23$ Karena sejajar, maka gradien garis $m = m_1 = -\dfrac23$. Persamaan garis yang melalui titik $4, -5$ dan bergradien $-\dfrac23$ adalah $\begin{aligned} y -y_1 & = mx -x_1 \\ y β -5 & = -\dfrac23x -4 \\ 3y+5 & = -2x-4 \\ 3y + 15 & = -2x + 8 \\ 3y + 2x = & = -7 \end{aligned}$ Cara 2 Persamaan garis yang sejajar berbentuk $y = -\dfrac23x + c$. Substitusikan $x = 4$ dan $y =-5$. $\begin{aligned} -5 & = -\dfrac234 + c \\ -5 & = -\dfrac83 + c \\ c & = -5 + \dfrac83 = -\dfrac{7}{3} \end{aligned}$ Dengan demikian, persamaan garisnya berbentuk $y = -\dfrac23x -\dfrac73$. Kalikan kedua ruas dengan $3$ sehingga diperoleh $3y = -2x -7 \Leftrightarrow 3y + 2x = -7.$ Jadi, persamaan garis yang melalui titik $4, -5$ dan sejajar dengan garis $y=-\dfrac23x+6$ adalah $\boxed{3y+2x=-7}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 12 Persamaan garis yang melalui titik $2, -7$ dan tegak lurus garis $4x-3y+8=0$ adalah $\cdots \cdot$ A. $3x-4y=34$ B. $3x+4y=-22$ C. $4x+3y=-13$ D. $4x-3y=21$ Pembahasan Cara 1 Gradien garis $4x-3y+8=0$ adalah $m_1 = -\dfrac{\text{Koef.}~x} {\text{Koef.}~y} = -\dfrac{4}{-3} = \dfrac43$ Karena tegak lurus, maka gradien garis $m = -\dfrac{1}{m_1} = -\dfrac34$. Persamaan garis yang melalui titik $2, -7$ dan bergradien $-\dfrac34$ adalah $\begin{aligned} y -y_1 & = mx -x_1 \\ y β -7 & = -\dfrac34x -2 \\ 4y+7 & = -3x-2 \\ 4y + 28 & = -3x + 6 \\ 3x + 4y & = -22 \end{aligned}$ Cara 2 Persamaan garis yang melalui titik $a, b$ dan tegak lurus garis $Ax + By = c$ adalah $Bx -Ay = Ba -Ab$. Dengan demikian, persamaan garis yang melalui titik $2, -7$ dan tegak lurus garis $4x β 3y + 8 = 0$ adalah $\begin{aligned} -3x -4y & = -32 -4-7 \\ -3x -4y & = 22 \\ 3x + 4y & = -22 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis yang melalui titik $2, -7$ dan tegak lurus garis $4x-3y+8=0$ adalah $\boxed{3x + 4y = -22}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 13 Persamaan garis yang melalui titik $-2, 1$ dan tegak lurus garis yang persamaannya $2y=-x+1$ adalah $\cdots \cdot$ A. $y=2x+5$ B. $y=-2x+5$ C. $y=2x-5$ D. $y=\dfrac12x-5$ Pembahasan Cara 1 Persamaan $2y = -x +1$ bila kedua ruasnya dibagi 2 menjadi $y = -\dfrac12x + \dfrac12$ Gradien garis $y = -\dfrac12x + \dfrac12$ adalah $m_1 = -\dfrac12$ Karena tegak lurus, maka gradien garis $m = -\dfrac{1}{m_1} = 2$. Persamaan garis yang melalui titik $-2, 1$ dan bergradien $2$ adalah $\begin{aligned} y -y_1 & = mx -x_1 \\ y -1 & = 2x -2 \\ y β 1 & = 2x + 4 \\ y & = 2x + 5 \end{aligned}$ Cara 2 Persamaan garis yang melalui titik $a, b$ dan tegak lurus garis $Ax + By = c$ adalah $Bx -Ay = Ba -Ab$. Dengan demikian, persamaan garis yang melalui titik $-2, 1$ dan tegak lurus garis $x + 2y= 1$ adalah $\begin{aligned} 2x -y & = 2-2 -11 \\ 2x -y & = -5 \\ -y & = -2x -5 \\ y & = 2x + 5 \end{aligned}$ Jadi, Persamaan garis yang melalui titik $-2, 1$ dan tegak lurus garis yang persamaannya $2y=-x+1$ adalah $\boxed{y = 2x + 5}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 14 Persamaan garis yang melalui titik $5, 3$ dan $-2, 1$ adalah $\cdots \cdot$ A. $7y=2x-11$ B. $7y=2x+11$ C. $2y=7x-11$ D. $2y=7x+11$ Pembahasan Cara 1 Normal Persamaan garis yang melalui titik $x_1, y_1$ dan $x_2, y_2$ adalah $\dfrac{y -y_1}{y_2-y_1} = \dfrac{x β x_1}{x_2-x_1}$ Persamaan garis yang melalui titik $5, 3$ dan $-2, 1$ adalah $\begin{aligned} \dfrac{y -1}{3 -1} & = \dfrac{x β -2}{5 -2} \\ \dfrac{y-1}{2} & = \dfrac{x+2}{7} \\ 7y-1 & = 2x+2 \\ 7y-7 & = 2x+4 \\ 7y & = 2x + 11 \end{aligned}$ Cara 2 Kece Perhatikan cara skematik berikut. [collapse] Baca Juga Cara Cepat Menentukan Persamaan Garis Lurus yang Melalui Dua Titik Soal Nomor 15 Sisi persegi $ABCD$ sejajar dengan sumbu-sumbu koordinat. Titik $A1,-2$ dan $C5,1$ adalah titik sudut yang saling berhadapan. Persamaan garis yang melalui titik $B$ dan $D$ adalah $\cdots \cdot$ A. $3x+4y+7=0$ B. $3x+4y-7=0$ C. $3x-4y+7=0$ D. $4x-3y+7=0$ Pembahasan Posisikan titik $A1,-2$ dan $C5,1$ dalam sistem koordinat Kartesius. Agar $ABCD$ membentuk sebuah persegi panjang, titik $B$ dan $D$ mesti berkoordinat $5, -2$ dan $1, 1$. Persamaan garis yang melalui kedua titik tersebut dinyatakan oleh $\begin{aligned} \dfrac{y-y_1}{y_2-y_1} & =\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1} \\ \dfrac{y-2}{1-2} & = \dfrac{x-5}{1-5} \\ \dfrac{y+2}{3} & = \dfrac{x-5}{-4} \\ -4y+2 & = 3x-5 \\ -4y-8 & = 3x-15 \\ 3x+4y-7 & = 0 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis yang melalui titik $B$ dan $D$ adalah $\boxed{3x+4y-7=0}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 16 Garis $k$ memotong sumbu-$Y$ di titik $a+3, a-7$. Jika garis $k$ juga melalui titik $8,6$, maka persamaan garis $k$ adalah $\cdots \cdot$ A. $2x+y=-10$ B. $2x-y=-10$ C. $2x-y=10$ D. $2x+y=10$ Pembahasan Karena $k$ memotong sumbu-$Y$, maka absis koordinatnya harus bernilai $0$, yaitu $a+3 = 0$ sehingga $a=-3$. Ini berarti, garis $k$ memotong sumbu tersebut di titik $0, -10$. Persamaan garis yang melalui dua titik, yaitu $0,-10$ dan $8,6$ dapat ditentukan dengan sejumlah cara. Cara 1 Manual Dengan menggunakan rumus $\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1} = \dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}$, diperoleh $\begin{aligned} \dfrac{y -10} {6-10} & = \dfrac{x -0}{8-0} \\ \dfrac{y+10}{\cancelto{2}{16}} & = \dfrac{x} {\cancel{8}} \\ y+10 & = 2x \\ 2x -y & = 10 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis $k$ adalah $\boxed{2x-y=10}$ Cara 2 Kece Perhatikan penggunaan metode skematik berikut. Jawaban C [collapse] Soal Nomor 17 Perhatikan grafik berikut. Persamaan garis $g$ adalah $\cdots \cdot$ A. $3x+2y-6=0$ B. $3x+2y+6=0$ C. $2x+3y-6=0$ D. $2x+3y+6=0$ Pembahasan Cara 1 Normal Garis $g$ melalui titik $0,3$ dan $2,0$. Persamaan garis yang melalui kedua titik tersebut adalah $\begin{aligned} \dfrac{y -y_1}{y_2 -y_1} & = \dfrac{x -x_1}{x_2 -x_1} \\ \dfrac{y -3}{0 -3} & = \dfrac{x -0}{2 -0} \\ \dfrac{y-3}{-3} & = \dfrac{x}{2} \\ 2y-3 & = -3x \\ 2y -6 & = -3x \\ 3x + 2y -6 & = 0 \end{aligned}$ Cara 2 Kilat Cara ini dipakai apabila titik potong garis terhadap kedua sumbu koordinat diketahui. Perhatikan cara skematik berikut. [collapse] Soal Nomor 18 Grafik garis dengan persamaan $y=\dfrac12x-2$ adalah $\cdots \cdot$ Pembahasan Diketahui persamaan garis lurus $y = \dfrac12x -2.$ Titik potong garis terhadap sumbu koordinat harus ditentukan dulu. Titik potong terhadap sumbu-$X$ terjadi saat $y = 0.$ $0 = \dfrac12x -2 \Leftrightarrow 2 = \dfrac12x \Leftrightarrow x = 4.$ Jadi, koordinat titik potongnya adalah $4, 0$. Titik potong terhadap sumbu-$Y$ terjadi saat $x = 0.$ $y = \dfrac120 -2 \Leftrightarrow y = -2$ Jadi, koordinat titik potongnya adalah $0, -2.$ Gambarkan kedua titik tersebut pada sistem koordinat Kartesius, lalu hubungkan kedua titik itu sehingga membentuk garis lurus. Jawaban C [collapse] Soal Nomor 19 Grafik garis dengan persamaan $4x-y-1=0$ adalah $\cdots \cdot$ Pembahasan Diketahui persamaan garis lurus $4x-y-1 = 0$. Berdasarkan alternatif jawaban yang diberikan, kita harus memeriksa nilai $y$ saat $x$ bernilai $-1, 0$, dan $1$. Untuk $x = -1$, kita peroleh $\begin{aligned} 4-1 -y -1 & = 0 \\ -5 -y & = 0 \\ y & = -5 \end{aligned}$ Garis melalui titik $-1, -5$. Untuk $x = 0$, kita peroleh $\begin{aligned} 40 -y -1 & = 0 \\ -y -1& = 0 \\ y & = -1 \end{aligned}$ Garis melalui titik $0, -1$. Untuk $x = 1$, kita peroleh $\begin{aligned} 41 -y -1 & = 0 \\ 3 -y & = 0 \\ y & = 3 \end{aligned}$ Garis melalui titik $1, 3$. Jawaban C [collapse] Soal Nomor 20 Grafik garis $k$ tegak lurus dengan garis $m$ dan memotong sumbu-$X$ di titik $2, 0$. Jika gradien garis $m$ adalah $2$, maka persamaan garis $k$ adalah $\cdots \cdot$ A. $y-2x=-4$ B. $x+2y=1$ C. $x+2y=2$ D. $2y-x=-2$ Pembahasan Gradien garis $m$ adalah $m_m = 2$. Karena tegak lurus, maka gradien garis $k$ adalah $m_k = -\dfrac{1}{m_m} = -\dfrac{1}{2}$ Persamaan garis yang melalui titik $2, 0$ dan bergradien $m = -\dfrac12$ adalah $\begin{aligned} y -y_1 & = mx -x_1 \\ y -0 & = -\dfrac12x -2 \\ 2y & = -x + 2 \\ x + 2y & = 2 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis $k$ adalah $\boxed{x + 2y = 2}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 21 Diketahui $P-3,-5$ dan $R-2,-8$. Persamaan garis yang melalui $-2,4$ dan tegak lurus garis $PR$ adalah $\cdots \cdot$ A. $3y-x-14=0$ B. $3y-x+14=0$ C. $y-3x+10=0$ D. $y-3x-10=0$ Pembahasan Gradien garis $PR$ di mana $P-3,-5$ dan $R-2,-8$ adalah $m_{PR} = \dfrac{y_2 -y_1}{x_2 -x_1} = \dfrac{-8 -5}{-2 -3} = \dfrac{-3}{1} = -3$ Karena garis yang dimaksud tegak lurus dengan garis $PR$, maka gradien garisnya adalah $m = -\dfrac{1}{m_{PR}} = -\dfrac{1}{-3} = \dfrac13$ Persamaan garis yang melalui titik $-2, 4$ dan bergradien $\dfrac13$ adalah $\begin{aligned} y -y_1 & = mx -x_1 \\ y -4 & = \dfrac13x -2 \\ 3y -4 & = x + 2 \\ 3y -12 & = x + 2 \\ 3y -x -14 & = 0 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garisnya adalah $\boxed{3y-x-14=0}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 22 Perhatikan garis $g$ pada bidang koordinat Kartesius berikut. Garis $k$ tegak lurus garis $g$ dan saling berpotongan di titik $0, -20$. Koordinat titik potong garis $k$ dengan sumbu-$X$ adalah $\cdots \cdot$ A. $8, 0$ C. $16, 0$ B. $12, 0$ D. $20, 0$ Pembahasan Gradien garis $g$ adalah $m_g = \dfrac{-20}{25} = -\dfrac45.$ Karena tegak lurus, maka gradien garis $k$ adalah $m_k = -\dfrac{1}{m_g} = \dfrac54$ Persamaan garis yang melalui titik $0, -20$ dan bergradien $m = \dfrac54$ adalah $\begin{aligned} y -y_1 & = mx -x_1 \\ y -20 & = \dfrac54x -0 \\ 4y + 20 & = 5x \\ 4y + 80 & = 5x \end{aligned}$ Titik potong garis $k$ terhadap sumbu-$X$ terjadi saat $y = 0$, berarti kita tulis $40 + 80 = 5x \Leftrightarrow x = \dfrac{80}{5} = 16.$ Jadi, titik potong garis $k$ terhadap sumbu-$X$ adalah $\boxed{16, 0}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 23 Persamaan garis $b$ seperti tampak pada gambar adalah $\cdots \cdot$ A. $2y=x-1$ B. $2y=-x-1$ C. $2y=x+1$ D. $2y=-x+1$ Pembahasan Gradien garis $a$ adalah $m_a = \dfrac{-2}{-1} = 2.$ Karena tegak lurus, maka gradien garis $b$ adalah $m_b = -\dfrac{1}{m_a} = -\dfrac{1}{2} = -\dfrac12.$ Perhatikanlah bahwa garis $b$ melalui titik $-1, 0.$ Persamaan garis yang melalui titik $-1, 0$ dan bergradien $m = -\dfrac12$ adalah $\begin{aligned} y -y_1 & = mx -x_1 \\ y β 0 & = -\dfrac12x -1 \\ 2y & = -x β 1 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis $b$ adalah $\boxed{2y = -x-1}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 24 Diketahui titik $A4, 10$, $B-1, p$, dan $C2, 2$ terletak pada satu garis lurus. Nilai $p$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-10$ C. $5$ B. $-5$ D. $10$ Pembahasan Diketahui $A4, 10$, $B-1, p$, dan $C2, 2$. Karena ketiga titik itu terletak pada satu garis lurus, maka gradien $AB$ haruslah sama dengan gradien $BC$. Kita tuliskan $\begin{aligned} m_{AB} & = m_{BC} \\ \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} & = \dfrac{y_C-y_B}{x_C-x_B} \\ \dfrac{p-10}{-1-4} & = \dfrac{2-p}{2-1} \\ \dfrac{p-10}{-5} & = \dfrac{2-p}{3} \\ 3p-10 & = -52-p \\ 3p-30 & = -10+5p \\ 3p-5p & = -10+30 \\ -2p & = 20 \\ p & = -10 \end{aligned}$ Jadi, nilai $\boxed{p=-10}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 25 Empat di antara lima titik $2, 4$, $4, 7$, $7, 10$, $10, 16$, dan $16, 25$ membentuk sebuah garis lurus. Manakah yang tidak termasuk? A. $2, 4$ D. $10, 16$ B. $4, 7$ E. $16, 25$ C. $7, 10$ Pembahasan Agar titik-titik terletak pada satu garis lurus, maka gradien garis yang terbentuk harus sama. Perhatikan bahwa pada titik $2, 4$, $4, 7$, $10, 16$, dan $16, 25$ membentuk garis lurus dengan gradien masing-masing $\dfrac{7-4}{4-2} = \dfrac{16-7}{10-4} = \dfrac{25-16}{16-10} = \dfrac32.$ Perhatikan juga bahwa, $\dfrac{10-7}{7-4} = 1 \neq \dfrac32.$ Jadi, titik yang tidak segaris adalah $\boxed{7, 10}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 26 Jika $a_1x+b_1y = c_1$ dan $a_2x + b_2y = c_2$ merupakan persamaan garis lurus yang saling berpotongan tegak lurus, maka akan dipenuhi $\cdots \cdot$ A. $a_1b_1-a_2b_2=0$ B. $a_1a_2-b_1b_2=0$ C. $a_1b_1+a_2b_2=0$ D. $a_1a_2+b_1b_2=0$ E. $a_1b_2+a_2b_1=0$ Pembahasan Persamaan garis $ax + by = c$ memiliki gradien $m = -\dfrac{a}{b}$. Oleh karena persamaan $a_1x+b_1y = c_1$ dan $a_2x + b_2y = c_2$ tegak lurus, maka berlaku $\begin{aligned} m_1 & = -\dfrac{1}{m_2} \\ -\dfrac{a_1}{b} & = -\dfrac{1}{-\dfrac{a_2}{b_2}} \\ \dfrac{a_1}{b_1} & = -\dfrac{b_2}{a_2} \\ a_1a_2 & = -b_1b_2 \\ a_1a_2+b_1+b_2 & = 0 \end{aligned}$ Jadi, diperoleh $\boxed{a_1a_2+b_1+b_2 = 0}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 27 Jika garis yang menghubungkan titik $-1, 1$ dan $\left1,\dfrac12\right$ tegak lurus terhadap garis yang menghubungkan titik $\left1,\dfrac12\right$ dan $7, t$, maka $t = \cdots \cdot$ A. $2$ C. $12\dfrac14$ E. $24\dfrac12$ B. $-\dfrac43$ D. $24$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} x_1, y_1 & = -1, 1 \\ x_2, y_2 & = \left1,\dfrac12\right \\ x_3, y_3 & = \left1,\dfrac12\right \\ x_4, y_4 & = 7, t \end{aligned}$ Gradien garis yang melalui titik $-1, 1$ dan $\left1,\dfrac12\right$ adalah $\begin{aligned} m_1 & = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ & = \dfrac{\dfrac12-1}{1-1} = \dfrac{-\dfrac12}{2} = -\dfrac14 \end{aligned}$ Gradien garis yang melalui titik $\left1,\dfrac12\right$ dan $7, t$ adalah $\begin{aligned} m_2 & = \dfrac{y_4-y_3}{x_4-x_3} \\ & = \dfrac{t-\dfrac12}{7-1} = \dfrac{t-\dfrac12}{6} \color{red}{\times \dfrac22} = \dfrac{2t-1}{12} \end{aligned}$ Karena kedua garis yang menghubungkan titik-titik tersebut saling tegak lurus, maka berlaku hubungan gradien $m_1 = -\dfrac{1}{m_2}$. Untuk itu, kita peroleh $\begin{aligned} -\dfrac14 & = -\dfrac{1}{\dfrac{2t-1}{12}} \\ \dfrac14 & = \dfrac{12}{2t-1} \\ 2t-1 & = 48 \\ 2t & = 49 \\ t & = \dfrac{49}{2} = 24\dfrac12 \end{aligned}$ Jadi, nilai $\boxed{t = 24\dfrac12}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 28 Perhatikan grafik tarif taksi berikut. Jika Rudi naik taksi sejauh $19~\text{km}$, berapa harga yang harus ia bayar? A. C. B. D. Pembahasan Berdasarkan grafik di atas, gradien garisnya adalah $m = \dfrac{22 -14}{4 -2} = \dfrac{8}{2} = 4$ Misalkan harga yang harus dibayar untuk jarak tempuh 19 km adalah $x$ ribu rupiah, maka $\begin{aligned} m = \dfrac{x -14}{19 -2} & = 4 \\ \dfrac{x-14}{17} & = 4 \\ x- 14 & = 68 \\ x & = 82 \end{aligned}$ Jadi, harga yang harus dibayar Rudi sebesar Jawaban B [collapse] Soal Nomor 29 Banyak tenaga kerja laki-laki berusia lebih dari $20$ tahun yang bekerja di suatu kota bertambah secara linear. Jika digambarkan, grafik pertambahan tenaga kerja laki-laki dapat direpresentasikan oleh garis lurus berikut. Pada tahun $1980$, sekitar $600$ laki-laki berusia di atas 20 tahun yang bekerja. Pada tahun $2000$, jumlah ini meningkat menjadi $800$. Berapa banyak tenaga kerja laki-laki di kota tersebut pada tahun $2015$? A. $ orang C. $ orang B. $ orang D. $950$ orang Pembahasan Gradien garis lurus pada grafik di atas dapat dihitung dengan cara berikut. $m = \dfrac{800-600}{2000-1980} = \dfrac{200}{20} = 10$ Misalkan ada sebanyak $x$ orang pada tahun $2015$ sehingga dengan menggunakan konsep gradien, diperoleh $m = \dfrac{x -800}{2015-2000}$ Karena garis lurus yang ditinjau sama, maka gradiennya juga pasti sama. $\begin{aligned} 10 & = \dfrac{x -800}{15} \\ 150 & = x -800 \\ x & = 950 \end{aligned}$ Jadi, banyak tenaga kerja laki-laki di kota tersebut pada tahun $2015$ adalah $\boxed{950~\text{orang}}$ Jawaban D [collapse] Baca Juga Membuat Garis Bergerak Mengikuti Dua Titik pada Aplikasi Geogebra Soal Nomor 30 Pada suatu hari, dua pemuda mengunjungi sebuah kafe. Setelah memesan minuman, mereka masing-masing diberikan kertas yang bertuliskan username dan password untuk mengaktifkan koneksi WiFi kafe tersebut. Salah satu dari mereka menemukan kertas lain seperti itu tercecer di lantai. Ia pun kemudian menjajarkan kertas tersebut seperti berikut. Setelah diperhatikan dengan seksama, mereka menduga bahwa ada hubungan username dengan password di sampingnya. Perhatikan bahwa dua karakter pertama pada username selalu bertuliskan βonβ, diikuti dengan bilangan puluhan ganjil. Berdasarkan pola hubungan itu, password yang sesuai untuk username on75 adalah $\cdots \cdot$ A. $682$ C. $702$ B. $692$ D. $712$ Pembahasan Dugaan kita adalah bahwa penambahan bilangan di username memengaruhi penambahan bilangan di bagian password secara linear membentuk garis lurus. Katakanlah terdapat titik $15, 552$ dan $19, 562$. Gradien garis yang ditarik dari dua titik ini adalah $\dfrac{562-552}{19-15} = \dfrac{10}{4} = \dfrac52.$ Sekarang, katakanlah ada titik $43, 622$ dan $19, 562$. Gradien garis yang melalui titik ini adalah $\dfrac{622-562}{43-19} = \dfrac{60}{24} = \dfrac52.$ Karena gradiennya sama, maka pasangan bilangan pada username dan password bergerak secara linear. Dugaan sebelumnya memang benar. Setiap penambahan $2$ pada bilangan di username, bilangan di password bertambah $5$. Password untuk on75 dapat dicari sebagai berikut. Kita simbolkan sebagai $x$ dan kita menggunakan $43, 622$ sebagai titik bantu. $\begin{aligned} \dfrac25 & = \dfrac{x-622}{75-43} \\ \dfrac52 & = \dfrac{x-622}{32} \\ \dfrac{80}{\cancel{32}} & = \dfrac{x-622}{\cancel{32}} \\ 80 & = x-622 \\ x & = 702 \end{aligned}$ Jadi, password untuk username on75 adalah $\boxed{702}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 31 Misalkan $m$ menyatakan bilangan bulat positif serta garis $13x+11y = 700$ dan $y = mx-1$ berpotongan di titik yang koordinatnya bilangan bulat. Banyak kemungkinan nilai $m$ adalah $\cdots \cdot$ A. $0$ C. $2$ E. $4$ B. $1$ D. $3$ Pembahasan Substitusi $\color{red}{y} = mx-1$ pada persamaan $13x+11\color{red}{y} = 700$. $\begin{aligned} 13x+11mx-1 & = 700 \\ 13x+11mx-11 & = 700 \\ 13+11mx & = 711 \\ x & = \dfrac{711}{13+11m} \end{aligned}$ Karena $x$ bulat, maka $13+11m$ harus merupakan faktor dari $711$. Perhatikan bahwa $711$ memiliki faktor $\{1, 9, 79, 711\}.$ $\begin{array}{cc} \hline \text{Nilai}~13+11m & \text{Nilai}~m \\ \hline 1 & -\dfrac{12}{11} \\ 9 & -\dfrac{4}{11} \\ 79 & 6 \\ 711 & \dfrac{698}{11} \\ \hline \end{array}$ Dari tabel di atas, tampak bahwa hanya ada $1$ nilai $m$ yang mungkin, yaitu $m = 6$, berakibat $x = 9$ dan $y = 53$. Jawaban B [collapse] Soal Nomor 32 Garis $y = ax + b$ berpotongan secara tegak lurus dengan garis $y = bx + a$ di titik $1, ab$. Nilai $a + b = \cdots \cdot$ A. $-\sqrt5$ C. $\dfrac32$ B. $-1$ D. $2$ Pembahasan Tuliskan dulu gradien masing-masing garis. $$\begin{aligned} y = ax + b & \Rightarrow m_1 = a \\ y = bx+a & \Rightarrow m_2 = b \end{aligned}$$Karena kedua garis berpotongan tegak lurus, maka berlaku $$\begin{aligned} m_1 & = -\dfrac{1}{m_2} \\ a & = -\dfrac{1}{b} \\ ab & = -1 \end{aligned}$$Karena berpotongannya di $1, ab$, maka substitusi $x = 1$ dan $y = ab$ pada salah satu persamaan garis, misalnya $y = ax + b$, menghasilkan $$\begin{aligned} ab & = a1 + b \\ ab & = a + b \\ -1 & = a + b \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{a+b=-1}$ Jawaban B [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan β Titik Tengah Ruas Garis dan Jarak Dua Titik Bagian Uraian Soal Nomor 1 Periksa apakah titik berikut berada di atas, di bawah, atau terletak tepat pada garis yang diberikan. Titik $2, -1$ dan titik $3, 9$ terhadap garis $2x + y = 4$. Titik $3, -5$ dan titik $1, 6$ terhadap garis $y = 2x-4$. Titik $0, 0$ dan titik $2, 2$ terhadap garis $-9x+2y=18$. Pembahasan Sebelum mengerjakan, kita perlu memperhatikan definisi pengertian mengenai posisi titik terhadap garis berikut. Suatu titik dikatakan berada di posisi bawah suatu garis apabila nilai ordinat titik itu lebih kecil dari nilai ordinat titik yang dilalui garis tersebut pada absis yang sama. Suatu titik dikatakan berada di posisi atas suatu garis apabila nilai ordinat titik itu lebih besar dari nilai ordinat titik yang dilalui garis tersebut pada absis yang sama. Suatu titik dikatakan berada tepat pada suatu garis apabila nilai ordinat titik itu sama dengan dari nilai ordinat titik yang dilalui garis tersebut pada absis yang sama. Jawaban a Titik $2, -1$ memiliki nilai ordinat $y = -1$. Substitusi $x = 2$ pada persamaan $2x + y = 4$ untuk memperoleh $\begin{aligned} 2\color{red}{2} + y & = 4 \\ 4 + y & = 4 \\ y & = 0 \end{aligned}$ Karena nilai ordinat titik lebih kecil $-1 -2$, maka disimpulkan bahwa titik $3, 9$ di atas garis $2x + y = 4$. Jawaban b Titik $3, -5$ memiliki nilai ordinat $y = -5$. Substitusi $x = 3$ pada persamaan $y=2x-4$ untuk memperoleh $y = 2\color{red}{3}-4 = 6-4=2$. Karena nilai ordinat titik lebih kecil $-5 -2$, maka disimpulkan bahwa titik $1, 6$ di atas garis $y = 2x-4$. Jawaban c Titik $0, 0$ memiliki nilai ordinat $y = 0$. Substitusi $x = 0$ pada persamaan $-9x+2y=18$ untuk memperoleh $\begin{aligned} -9\color{red}{0} + 2y & = 18 \\ 0 + 2y & = 18 \\ y & = 9 \end{aligned}$ Karena nilai ordinat titik lebih kecil $0 < 9$, maka disimpulkan bahwa titik $0, 0$ di bawah garis $-9x+2y=18$. Titik $2, 2$ memiliki nilai ordinat $y = 2$. Substitusi $x = 2$ pada persamaan $-9x+2y=18$ untuk memperoleh $\begin{aligned} -9\color{red}{2} + 2y & = 18 \\ -18 + 2y & = 18 \\ 2y & = 36 \\ y & = 18 \end{aligned}$ Karena nilai ordinat titik lebih kecil $2 < 18$, maka disimpulkan bahwa titik $2,2$ di bawah garis $-9x+2y=18$. [collapse] Soal Nomor 2 Absis titik potong garis $g$ dengan sumbu-$X$ dan ordinat titik potong garis $g$ dengan sumbu-$Y$ merupakan bilangan genap positif yang kurang dari $10$. Jika garis $g$ melalui titik $3, 4$, tentukan persamaan garis $g$ tersebut. Pembahasan Misalkan titik potong garis $g$ terhadap kedua sumbu koordinat adalah $p, 0$ dan $0, q$ dengan $p, q$ bilangan genap positif yang kurang dari $10$. Garis $g$ diketahui melalui titik $3, 4$. Berdasarkan prinsip kesamaan gradien dalam satu garis lurus, kita peroleh $\begin{aligned} \dfrac{q-4}{0-3} & = \dfrac{0-4}{p-3} \\ \dfrac{q-4}{-3} & = \dfrac{-4}{p-3} \\ q-4p-3 & = 12 \end{aligned}$ Selanjutnya kita harus mencari kombinasi dua faktor yang mungkin untuk menghasilkan $12$. Faktor dari $12$ adalah $1, 2, 3, 4, 6$, dan $12$. Periksa setiap kemungkinan yang ada menggunakan tabel berikut dengan mengingat syarat $a, b$ harus genap dan nilainya kurang dari $10$. $$\begin{array}{ccccc} \hline q-4 & p-3 & q & p & \text{Keterangan} \\ \hline 1 & 12 & 5 & 9 & \text{Tidak Memenuhi} \\ 2 & 6 & 6 & 9 & \text{Tidak Memenuhi} \\ 3 & 4 & 7 & 7 & \text{Tidak Memenuhi} \\ 4 & 3 & 8 & 6 & \text{Memenuhi} \\ 6 & 2 & 10 & 5 & \text{Tidak Memenuhi} \\ 12 & 1 & 16 & 4 & \text{Tidak Memenuhi} \\ \hline \end{array}$$Jadi, nilai $p = 6$ dan $q = 8$. Persamaan garis lurus yang melalui titik $6, 0$ dan $0, 8$ adalah $8x + 6y = 8 \cdot 6$, dan disederhanakan menjadi $4x + 3y = 24$. Grafiknya dapat dilihat pada gambar berikut. Jadi, persamaan garis $g$ adalah $\boxed{4x+3y=24}$ [collapse] Soal Nomor 3 Absis titik potong garis $\ell$ dengan sumbu-$X$ dan ordinat titik potong $\ell$ dengan sumbu-$Y$ adalah bilangan-bilangan prima. Jika $\ell$ juga melalui titik $3, 4$, tentukan persamaan garis $\ell$. Pembahasan Perhatikan sketsa grafik garis $\ell$ berikut. Dimisalkan bahwa garis $\ell$ memotong sumbu-$X$ di $a, 0$ dan sumbu-$Y$ di $0, b$. Persamaan garis $\ell$ adalah $bx + ay = ab.$ Karena garis $\ell$ melalui titik $3, 4$, maka dapat disubstitusi $x = 3$ dan $y = 4$ sehingga diperoleh $\begin{aligned} 3b+4a & = ab \\ ab-4a & = 3b \\ ab-4 & = 3b \\ a & = \dfrac{3b}{b-4} \\ a & = \dfrac{3b-4+12}{b-4} \\ a & = 3+\dfrac{12}{b-4} \end{aligned}$ Karena $a$ prima dan berarti juga bulat, maka $b-4$ harus merupakan faktor $12$, yaitu $1, 2, 3, 4, 6, 12$. Analisis nilai $a$ dan $b$ yang keduanya harus prima dalam tabel berikut. $\begin{array}{ccc} \hline \text{Nilai}~b-4 & \text{Nilai}~b & \text{Nilai}~a \\ \hline 1 & 5 & \color{red}{15} \\ \hline 2 & \color{red}{6} & 5 \\ \hline 3 & 7 & 7 \\ \hline 4 & \color{red}{8} & \color{red}{6} \\ \hline 6 & \color{red}{10} & 5 \\ \hline 12 & \color{red}{16} & \color{red}{4} \\ \hline \end{array}$ Keterangan Bilangan yang diwarnai merah artinya bukan prima. Jadi, dipilih nilai $b = 7$, berakibat $a = 7$ keduanya prima sehingga persamaan garis $\ell$ adalah $7x + 7y = 49$, disederhanakan menjadi $\boxed{x + y = 7}$ [collapse] Soal Nomor 4 Sebuah garis melalui titik $A1, 1$ dan $B100, 1000$. Berapa banyak titik-titik lain dengan elemen koordinat berupa bilangan bulat yang dilalui garis itu dan berada di antara kedua titik tersebut? Pembahasan Garis melalui $A1,1$ dan $B100, 1000$. Gradien garis tersebut adalah $$m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{1000-1}{100-1} = \dfrac{999}{99} = \dfrac{111}{11}$$Persamaan garisnya adalah $$\begin{aligned} y-y_1 & = mx-x_1 \\ y-1 & = \dfrac{111}{11}x-1 \end{aligned}$$Agar diperoleh bilangan bulat $y$, maka $11$ harus membagi habis $x-1$. Untuk suatu bilangan bulat $t$, maka kita tulis $$\begin{aligned} x-1 & = 11t \\ x & = 11t+1 \\ \Rightarrow y-1 & = \dfrac{111}{11}11t \\ y & = 111t+1 \end{aligned}$$Karena koordinat yang diiinginkan berada di antara titik $A1,1$ dan $B100,1000$, maka nyatakan dalam bentuk pertidaksamaan berikut. $$\begin{array}{rcccl} 1 & ~ & x & < & 100 \\ 1 & < & 11t+1 & < & 100 \\ 0 & < & 11t & < & 99 \\ 0 & < & t & < & 9 \\ 1 & \le & t & \le & 8 \end{array}$$dan $$\begin{array}{rcccl} 1 & ~ & y & < & \\ 1 & < & 111t+1 & < & \\ 0 & < & 111t & < & 999 \\ 0 & < & t & < & 9 \\ 1 & \le & t & \le & 8 \end{array}$$Untuk kedua kasus tersebut, ditemukan $8$ nilai bilangan bulat $t$, yaitu $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$. Jadi, akan ada $\boxed{8}$ titik dengan koordinat bulat di antara $A$ dan $B$ yang dilalui garis itu. [collapse]
persamaan garis b seperti tampak pada gambar adalah
